问题的提出 观察上节例1, 被积函数f(x)=z在复平面内处处解析, 此时积分与路线无关 观察上节例2, 被积函数f(z)=Rez=x,由于不满足 柯西一黎曼方程,故而在复平面内处处不解析 此时积分值 Rezdz与路线有关
一、问题的提出 观察上节例1, 被积函数 f (z) = z 在复平面内处处解析, 此时积分与路线无关. 观察上节例2, 被积函数 f (z) = Rez = x, 柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 此时积分值 Rezdz与路线有关. c 由于不满足
观察上节例3, 被积函数当n=0时为,虽然在除去zn的 Z-Z 0 C的内部函数处处解析,但此区域已不是单连通域 此时 kz-公z=2m≠0.说明积分与路线有关 由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能 决定于被积函数的解析性及区域的连通性 受此启发柯西 Cauchy)于1825年给出如下定理:
C 的内部函数处处解析, 但此区域已不是单连通域. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能 决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 受此启发,柯西(Cauchy)于1825年给出如下定理: 观察上节例３, , 1 0 0 z z n − 被积函数当 = 时为 = c − z i z z d 2 0. 1 0 此 时 虽然在除去z0的 说明积分与路线有关．
二、基本定理 柯西积分定理 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析 那么函数f(z)沿D内的任何一条封闭曲线 的积分为零:∮f(x)dz=0 定理中的C可以不是简单曲线 1851年,黎曼在附加假设纩(x) 在D内连续”的条件下,得到一个如下的简单证明
D 二、基本定理 : ( )d 0. ( ) ( ) , = c f z z f z D C f z D 的积分为零 那么函数 沿 内的任何一条封闭曲线 如果函数 在单连通域 内处处解析 柯西积分定理 C 定理中的 C 可以不是简单曲线. 1851年，黎曼在附加假设“ 在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明． f (z)
黎曼证明令z=x+仍,∫(z)=u(x,y)+i(x,y), 则5∫()k=dx-p+i+ud 而∫(z)在D内连续,则u1,u1,V2,v在D内连续, 且满足C—R方程:x=v,l,==vx 由格林公式udx-vy=0,5wdx+udy= 从而 )()dz=0. 1900年法国数学家古萨( Goursat)免去f(z)在 内连续”的假设,发表上述定理新的证明方法.因此, 定理又称为柯西一古萨定理 古萨介绍
黎曼证明 令z = x + i y, f (z) = u(x, y) + i v(x, y), = − + + C ( ) , C C 则 f z dz udx vdy i vdx udy 且满足C—R方程： 则 ux , uy , vx , vy在D内连续， x y y x u = v , u = −v 由格林公式 0, 0. − = + = C C udx vdy vdx udy = C 从而 f (z)dz 0. 定理又称为柯西－古萨定理. 内连续”的假设，发表上述定理新的证明方法．因此， 1900年,法国数学家古萨（Goursat） 免去“ f (z) 在D 古萨介绍 而 f (z)在D内连续
由定理得 如果函数f(z)在单连通区域D内处处解析,那么 那么积分[f(z)dz与路线(无关.即 解析函数在单连通域内的积分与路线无关 如图,如果曲线起点为0,终点为z1, 则 ∫f)dz=jf(a)dk=f()dz
D D 0 z 1 z 0 z 1 z C1 C2 C1 C2 , , 0 1 如果曲线起点为z 终点为z = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z = 1 0 ( )d z z f z z 解析函数在单连通域内的积分与路线无关． 由定理得 如果函数f (z)在单连通区域D内处处解析，那么 那么积分C f (z)dz与路线C无关． 即： 如图， 则