第十七章多元函数徽分学 4t3+3t2+2t az a 2xl a ln(3u-2v)+ 3u-2 (5)由于 f2d(x fidr fidy f23dx f2cdy O1+ yf2)dr +(fi+xf2)dy 所以 f1 yf2 (6) 孟f+2 2.设z 其中f为可微函数,验证 证设 y2,则 audi (u)'5.sf(u)+2y2f(u 2=32=-2xy(x), f(u) 所以 13z+13 2yf (u) 之 3.设z=siny+f(sinx-siny),其中f为可微函数,证明 dsect +2.secy=1 a: 证设u=sinz-siny则 438
82复合函数徽分法 =f(n)∞x,a=(1-f(n) aS) 所以3xcx+3,cy=f(a)+(1-f(x)=1 4.设∫(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 之下.()2+()2是一个形式不变量即若 则必有(x)2+()2=(gn)2+(gn)2.(其中旋转角0是常数) 证 f(-sin0)+fy×0 (gu)+(g,)=f20B0+sin20 +2/fysin0oos0+fsin 0+fax 2fiysin@ccso f(sn20+a30)+f3(sn20+ax20)=+ 故(fx) )2=(gn)2+(gn)2 5.设f(u)是可微函数 F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:F2(0,0)与F2(0,0) 解Fx=f(x+2t)+3f F4=2f(x+2t)-2f(3x-2t) 故F(0,0)=4f(0),F2(0,0)=0 6.若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 则称F(x,y,x)为k次齐次函数试证下述关于齐次函数的欧拉 定理:可微函数F(x,y,z)为k次齐次函数的充要条件是 F(x, y, x)+yF,(x, y, z)+zF(c, y, z)=kF(, y, 2) 并证明:z= 2+y2-y为2次齐次函数 y 证必要性由F(tx,t,tz)=tF(x,y,z).令 7=t,=tz,两边对t求导得 439
第十七章多元函数微分学 Fe(,n,5)+yF2(,n,5)+xF;(,,5) 1F( 令t=1则有 xFI(I, y, z)+yF, (r,y, z)+2F(x,, z)=kF(x,y, 2) 充分性设Φ(x,y,z,t)=F(tx,ty,tz)(t>0) 令=tx,=ty,=t,求Φ关于t的偏导数得 aΦ =tF2(,,5)+F16,7,5) (G,7,)t-kF(日,,3)} 由已知=0,于是φ仅是x,y,z的函数,记 (x,y,x)=φ(x,y,z,t),所以(x,y,z)=F(tx,ty,tz) 令t=1时y(x,y,z)=F(x,y,z)因此 tF(r, y, z)=F(tr, ty, tz 因为z(x,ty)=-(tx)(t √(tx)2+(ty)2 (tx)(ty) 所以z(x,y)为二次齐次函数 7.设∫(x,y,z)具有性质f(tx,ty,z)=tf(x,y,z)(t>0) 证明: (2 (2)xfi(, y,2)+kyf(r,y, z)+mzf(x,y, z)=nf(r,y, z) 证(1)由f(tx,+,x)=f(x,y,x)令t=1得 即f(x,y,z) (2)令日=t,=by,=z,对f(tx,by,t"z)=tf(x,y,z)两 40