81可微性 即2(1-x)=2(y-1) 11.求曲面3x2+y2-z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法 线方程 所以切平面方程为9(x-3)+(y-1)-(x-1)=0即 法线方程为=3=y1=x=1 即x-3=9(y-1)=9(1-z) 12.在曲面z=xy,上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3 z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程 解设所求点为P(x0,y,x0y0),点P处切平面法向量为 (x(x0,y0),zy(x0,y),-1)=(y0,x0,-1).要求切平面与平面 x+3y+x+9=0平行,故1=3=-1,从而x0=-3,yo=-1 得P点为(-3,-1,3)且点P处的切平面方程为-(x+3)-3( 1)-(z-3)=0即x+3y+z+3=0.法线方程为 x+3y+1_z-3 即3(x+3)=y+1=3(z-3) 13.计算近似值 (1)1.002×2.0032×3.0043;(2)sin29×tan46 解(1)设u=xy2z3,x0=1,y0=2,z0=3,△x=0.002 △y=0.003,△x=0.004根据a(xo+△ u(zo, yo, 20)T △y+ x(x0,y0,z0)△z.u(1,2,3)=108,ux(1,2,3)=108,y(1,2,3)= 108,2(1,2,3)=108.知 1.002×2.0032×3.004 433
第十七章多元函效微分学 ≈108+108×0.002+108×0.003+108×0.004=108.972 (2)设v=sinx tany,0 6,Vo=t, DIRn 则 而 ≈05023 14.设圆台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm高 cm.若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此圆台体积变化的近 似值 解圆台体积V=(R2+R+r2)从而 △R+V·△r+Vh:△h 将R=30,r=20,h=40,及△R=0.3,△r=0.4,△h=0.2 代人上式得 v≈332×03+23×04+x×02=80m≈27(m 15.证明:若二元函数∫在点P(xo,y)的某邻域U(P)内的偏导 函数fx与f有界,则f在U(P)内连续 证由fz,在U(P)内有界设此邻域为U(P,61),存在M> 0,使|fx<M,1f1<M在U(P,81)内成立,由于 △z|=1f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =1f(x+01△x,y+△y)△x+f(x,y+02△y)△yl ≤M|△xl+M|△yl 所以对任意的正数e,存在δ=min8v2M+1)},当△x1<8, 1△y|<δ时,有|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)1<e,故∫在U(P,) 内连续 16.设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续
81可微性 (1)若在inD内有f2=0,试问f在D上有何特性 (2)若在iD内有f=f≡0,f又怎样? (3)在(1)的讨论中,关于∫在D上的连续性假设可否省略?长方 形区域可否改为任意区域? 解(1)二元函数∫在D=[a,b]×[c,d]上连续,若在intD内 有fx≡0,则f( 这是因为对intD内任意两点(x1,y),(x2,y)由中值定理知 f(x2,y)-f(x1,y)=f2(x1+0(x2-x1),y)(x2-x1)=0 即f(x2,y)=f(x1,y),由(x1,y),(x2,y)的任意性知f(x,y)= p(y) (2)若在切iD内有f=f=0,则f(x,y)=常数 事实上,对训D内任意两点(x1,y1),(x2,y2)由中值定理(课本 P1页)知存在 6=x1+a(x2-x1),n=y1+B2(y-y1)0<a1,2<1 使得 f(z2,y2)-f(x1,yn)=f(,y)(x2-x1)+f(x1,n)(y2-y) 因为fx=f≡0所以f(x2,y2)≡f(x1,y1)由(x1,y1),(x2,y2)的 任意性知f(x,y)=常数 (3)在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设不能省略否则 结论不一定成立例如在矩形区域D=(-2,是]×(0,2]上二元函 数 r(x,y)=|9x>0,)>0 0,D中其它部分 在intD内fx≡0,可是不连续,f(1,1)=1,f(-1,1)=0,显然f 与x有关,结论不成立 在(1)的讨论中,长方形区域不能改为任意区域,否则结论不一定 成立例如:设 Ⅰ={(x,y)1x=0,y≥0},D=R2-1,二元函数
第十七章多元函数微分学 y, x>0 y 0,D中其它点 在D上连续,且f2≡0,但f(1,1)=1,f(-1,1)≡0即f与x有 关,结论不成立 17.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 证设f(a,0)= arctan+t,a0=0,=0,△a=x,△U=y 则 arctan≈f(uo,vo)+fn(u0,v)△u+f(uo,vo)△v f(u0,vo)=0,f(40,vo)=1f(uo,vo)=1 故 arctan≈1·x+1·y=x+y 8.求曲面x=2+2与平面y=4的交线在x=2处的切线 与OX轴的交角 解设该角为a,则根据导数的几何意义切线对OX轴的斜率为 x2(2,4)=51=2=1,tan=1,a=4,所以切线与OX轴交角 19.试证 (1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和 证(1)设u=xy,则da=ydx+xdy,故 △ d dr (2)设v=则dv t- rdy du dr dy △ dU dxdy
§2复合函数微分法 20.测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限为001cm3 又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.01g,求由公式d=V算 出的比重d的相对误差限和绝对误差限 解△d|≈dw·△W+dy:△V △V 1△dAW+/W△V=445×001+×01≈0.017 △W △V ≈0.26% 所以d的相对误差限为0.26%,绝对误差限为0.017 §2复合函数微分法 求下列复合函数的偏导数或导数 (1)设z= arctan(xy),y=,求4; (2)设z= dz az e y (3)设x=x2+xy+y2,x=2,y=t,求华; (4)设z=x2lny,x=,y=3a-2v,求2,2; (5)设x=f(x+y,xy),求,; (6)设u auau du 解(1)令u=xy,则z= arctan,y=ex=x dz- dz au dz au dyy du dy dr 1+rly +x22=g2(1+x) (2)2=y(x2y)+x2+2.(2n2 2y(1+2+y2 437