二、二维随机变量的分布函数 1、联合分布函数的定义 设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y,二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数(或称联合分布函数) 2、几何意义 联合分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 的值就是随机点(X,￥)落在 区城D内的概率 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 二、二维随机变量的分布函数 1、联合分布函数的定义 F(x, y) = P(X x,Y y) 称为二维随机变量 ) 的分布函数(或称联合分布函数). (X,Y 设 (X,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 (x, y) 联合分布函数 F(x, y) = P(X x,Y y) 的值就是随机点 (X,Y ) 落在 x y O D 2、几何意义 区域D内的概率
3、联合分布函数F(x,y)=P(Xsx,Y≤y)的性质 性质1对任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;且有 F(+∞,+∞)=1 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0 y+(x1,y) 如图:对x1<x2,显然有 dx2,y F(x1,y)≤F(x2,y) 于是我们得到 性质2F(x,y是变量x和y的单调非降函数 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 性质1 对任意的 x, y, 有 0 F(x, y) 1; 性质2 且有 F(+,+) = 1 F(x,− ) = F(− , y) = F(− ,− ) = 0 F(x, y) 是变量 x 和 y 的单调非降函数; 3、联合分布函数 F(x, y) = P(X x,Y y) 的性质 如图： ( , ) 1 x y x y O ( , ) 2 x y ( , ) ( , ) 1 2 F x y F x y , 对 x1 x2 显然有 于是我们得到
考虑随机变量(X,Y)落在矩形区域D的概率,其中 D=k(X,x<Xsx2,v,<rsy2 容易得到 (x1,y2)(x2,2) P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)y F(x2,y2)-F(x1,y2) F(x21)+F(x1,y1)1 29 性质3对任意的x<x2,y感,) O (x1<X≤x2,y1<Ysy2) =F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) 且F(x2,y2)-F(x,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 ( , ) 1 2 x y x y O ( , ) 2 2 x y ( , ) 1 1 x y ( , ) 2 1 x y 1 x 2 x 1 y 2 y 考虑随机变量 (X,Y ) 落在矩形区域D的概率，其中 {( , )| , } 1 2 1 2 D = X Y x X x y Y y D ( , ) 1 2 1 2 P x X x y Y y ( , ) 2 2 = F x y ( , ) 1 2 − F x y ( , ) 2 1 − F x y ( , ) 1 1 + F x y 容易得到 性质3 1 2 1 2 对任意的 x x , y y 总有 ( , ) 1 2 1 2 P x X x y Y y 且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x2 y2 − F x1 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 = F x y − F x y − F x y + F x y
性质1对任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;且有 F(+∞,+∞)=1 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-0,-∞)=0 性质2F(x,y是变量x和y的单调非降函数; 性质3对任意的x1<x2,y1<y2总有 P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2) =F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) 且F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0 性质4F(x,y)对任意的x(或y)都是右连续的 即对任意的x,y,均有 F(x+0,y)=F(x,y)F(x,y+0)=F(x,y)
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 F(x + 0, y) = F(x, y) F(x, y + 0) = F(x, y) 性质4 F(x, y) 对任意的 x ( 或 y )都是右连续的, 即对任意的 x, y, 均有 性质1 对任意的 x, y, 有 0 F(x, y) 1; 且有 F(+,+) = 1 F(x,− ) = F(− , y) = F(− ,− ) = 0 性质2 F(x, y) 是变量 x 和 y 的单调非降函数; 性质3 1 2 1 2 对任意的 x x , y y 总有 ( , ) 1 2 1 2 P x X x y Y y 且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x2 y2 − F x1 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 = F x y − F x y − F x y + F x y
例1已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(, y)=A(B+arctan x)(C+arctan y) 0<x<+,-0<y<+0) 试确定常数4,BC的值。并求概率P(0<X≤1,0<y<Nm少 解:由分布函数的性质得 F(+o0, +oo)=lim A(B+arctan x)(C +arctan) x→)+ y→>+o A(B+)(C+)=1 2 F(o0,y)=lim A(B+arctan x(C+arctan) A ( B-(C+arctan)=0 同理F(x,-∞0)=A(B+ arctan)C-x)=0……(3) 由(1),(2),(3)解得A=_2,B
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 已知二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布函数为 F(x, y) = A(B + arctan x)(C + arctan y) 试确定常数A,B,C的值。并求概率 (− x +,− y +) P(0 X 1,0 Y 1). 解: 由分布函数的性质得 lim A(B arctan x)(C arctan y) y x + + →+ →+ F(+,+) = ) 2 )( 2 ( = A B + C + = 1 lim A(B arctan x)(C arctan y) x + + →− F(−, y) = )( arctan ) 2 = A(B − C + y = 0 同理 F(x,−) 由(1),(2),(3)解得 , 1 2 A = , 2 B = . 2 C = (1) (2) ) (3) 2 ( arctan )( = A B + x C − = 0