第1-3节 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 行列式的计算 重点： 行列式的计算 难点： 行列式的计算技巧. 教学目的要求： (1)熟练计算二、三、四阶行列式。 (2)会计算n阶行列式， 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第27页第6题(3)，(4)， 第28页第6题(6)，(8) 参考资料： 同济大学编《线性代数》高等教育出版社
第 1-3 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式的计算. 重点： 行列式的计算. 难点： 行列式的计算技巧. 教学目的要求： （1）熟练计算二、三、四阶行列式. （2）会计算 n 阶行列式. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 27 页第 6 题（3），（4）， 第 28 页第 6 题（6），（8）， 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
第三节行列式的计算 本节将筒单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列 式的方法 行列式的计算总的思路是降阶或化为三角行列式来计算， 一、低阶（其体阶数已知）行列式计算 例1计算行列式 112-13 D= 23-12 -1110 01-21 解法一：降阶 12-1312-13 b一1I-0+b-11-0?-0 -1110=0303 01-2101-21 -11-4-11-3 303=63 0 0 1-211 -2 0/ 法二：化为三角行列式 1 2 -13 12 -13 -2斯0 -11 -45+n0 -11 -4 D=-11 10=0 30 3 0 1-21 01-2 1 5+3 12-13 5 -13 -11 4+5 1 1 -4 9 = =18 00 3 0 1 3 0 0 -1- 0 0 6 例2计算行列式
第三节 行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列 式的方法. 行列式的计算总的思路是降阶或化为三角行列式来计算. 一、低阶（具体阶数已知）行列式计算 例 1 计算行列式 0 1 2 1 1 1 1 0 2 3 1 2 1 2 1 3 D 解 法一：降阶 2 2 1 r r D 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 4 1 2 1 3 3 1 r r 0 1 2 1 0 3 0 3 0 1 1 4 1 2 1 3 = 1 2 1 3 0 3 1 1 4 C3 C1 3 1 2 0 3 0 0 1 1 3 18 2 0 1 3 . 法二：化为三角行列式 2 2 1 r r D 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 4 1 2 1 3 3 1 r r 0 1 2 1 0 3 0 3 0 1 1 4 1 2 1 3 4 2 3 2 3 r r r r 0 0 1 - 3 0 0 3 - 9 0 1 1 4 1 2 1 3 4 3 3 3 1 r r r 18 0 0 0 - 6 0 0 1 - 3 0 1 1 4 1 2 1 3 例 2 计算行列式
a b c d D=a atb atbic a+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d r4-r3 a b c d aa+b a+b+c r3-r20 aa+b a+b+c 解D,20a2a+b3a+2b+ =aa 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c a 3a+b 6a+3b+c aa+b a+b+c r3-r2 0 a 2a+b =a a 2a+b =a4 0 a 3a+b a 3a+b 例3计算行列式 1+x 1 1 1 1 1- 1 D= 1 1 1+y 1 1 1 11- 111 1x000 D= 11-x1 1.11-x1 111+y1 +11+y1 1111-1111-y 1111 111-x1 0-x00 60y11-o +x11+y1+x01+y 000- 11-y =0y2-92-x20+y1-y)=y2-2+x2y2=-x2y2 以上三例都是利用行列式的性质，通过降阶或化为三角行列式来求解的， 降阶：利用行列式的性质将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后 按照这一行（列）展开达到降阶.这是计算行列式常用的方法之一
a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 解 D 3 2 4 3 2 1 r r r r r r a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d 0 3 6 3 0 2 3 2 0 = a a b a b c a a b a b c a a b a b c a 3 6 3 2 3 2 3 2 2 1 r r r r a a b a a b a a b a b c a 0 3 0 2 = a a b a a b a 3 2 2 = 4 a . 例 3 计算行列式 y y x x D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解 y y x D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y y x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 y y x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 y y x x y x y 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 xy xy x y y 2 2 2 2 xy xy x y 2 2 x y 以上三例都是利用行列式的性质，通过降阶或化为三角行列式来求解的. 降阶：利用行列式的性质将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后 按照这一行（列）展开达到降阶.这是计算行列式常用的方法之一
化为三角行列式：利用行列式的性质将行列式主对角线下（上）方的元素全 化为零（即化为上（下）三角行列式)，行列式的值为主对角线上元素的连乘积 由于此化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式 的值 x31 1-x1-y1- 例4设少0 求D=413 21 111 解 134 11 x y =x 3 1 _302 y01=-1 111z21 例5设多项式 1123 12-x223 fx)=2315 319-x2 试求∫x)=0的根 解（法一） 1123 100 0 12-x22 f(x)= 3 11-x2 0 0 315 2 1 -3 -1 3 19-x2 2 1 -33-x2 00 0 20 0 1 -30 =-3(1-x2)(4-x2), 1-34-x2
化为三角行列式：利用行列式的性质将行列式主对角线下（上）方的元素全 化为零（即化为上（下）三角行列式），行列式的值为主对角线上元素的连乘积. 由于此化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式 的值. 例 4 设 2 1 0 1 3 1 z y x =1， 求 1 1 1 4 1 3 1 x 1 y 1 z D 解 D = 1 1 1 4 1 3 1 1 1 + 1 1 1 4 1 3 x y z = 1 1 1 4 1 3 x y z 2 3 r r - 1 1 1 3 0 2 x y z 1 2 1 0 1 3 1 z y x . 例 5 设多项式 f (x）= 2 2 2 3 1 9 2 3 1 5 1 2 2 3 1 1 2 3 x x . 试求 f (x） 0 的根. 解 （法一） 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x 3 1 2 1 4 1 2 3 c c c c c c 2 2 2 1 3 3 2 1 3 1 1 1 0 0 1 0 0 0 x x 4 3 3 1 c c 2 2 2 1 3 4 2 1 3 0 1 1 0 0 1 0 0 0 x x =-3（1- 2 x ）（4- 2 x ）
由fx)=0的根为x=-1,x2=1x=-2,x=2. (法二)有性质2推论3知，当2-x21或9x2=5时，x)=0.故 x=-l52=1x=-2x=2 为f(x)=0的根.由于f(x)为x的4次多项式，因此，f(x)=0至多有4个根.因 此，fx)=0有4个根 二、高阶行列式的计算 n阶行列式的计算除了利用行列式的展开定理和性质外，有些问题需要递推 公式或利用数学归纳法解决 例6计算行列式 x aa . a x a D. aaa. 解行列式D,的特点是每一行的n个元素之和相等，均为x+(n-I)a.因此 将行列式D的第二列、第三列、.、第n列都加到第一列上，再从第一列中提取 公因子x+(n-1)a,则有 laa.aa 1xa.aa D.=Ix+(n-lal. laa.xa laa.a刘 l1aa. a a 0x-a0. 0 0 e2a-ln【x+(n-l1)a . 000.x-a0 000.0x-a
由 f x( ) 0 的根为 1 2 3 4 x x x x 1, 1, 2, 2. （法二） 有性质 2 推论 3 知，当 2- 2 x =1 或 9- 2 x =5 时， f x( ) 0 .故 1 2 3 4 x x x x 1, 1, 2, 2 为 f x( ) 0 的根.由于 f x( ) 为 x 的 4 次多项式，因此， f x( ) 0 至多有 4 个根.因 此， f x( ) 0 有 4 个根. 二、高阶行列式的计算 n 阶行列式的计算除了利用行列式的展开定理和性质外，有些问题需要递推 公式或利用数学归纳法解决. 例 6 计算行列式 Dn = a a a x a x a a x a a a . . . . . . . . . 解 行列式 Dn 的特点是每一行的 n 个元素之和相等，均为 x (n 1)a .因此 将行列式 D 的第二列、第三列、.、第 n 列都加到第一列上，再从第一列中提取 公因子 x (n 1)a ，则有 Dn =x n a ( -1) a a a x a a x a x a a a a a a a 1 . 1 . . . . . . . 1 . 1 . 1 ( 2,3,., 1, ) r r k n n k x n a ( -1) x a x a x a a a a a 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 . . . . . . 0 0 . 0 0 1