第1-1节 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念 重点： 三阶、n阶行列式的定义 难点： n阶行列式的定义及等价定义. 散学目的要求： (1)掌握行列式、余子式、代数余子式等概念， (2)掌握三阶、n阶行列式的定义 (3)了解行列式的等价定义. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 1.会求行列式中元素的余子式、代数余子式. 2.会用定义计算简单的行列式 参考资料： 同济大学编《线性代数》 高等教育出版社
第 1-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念. 重点： 三阶、 n 阶行列式的定义. 难点： n 阶行列式的定义及等价定义. 教学目的要求： （1）掌握行列式、余子式、代数余子式等概念. （2）掌握三阶、 n 阶行列式的定义. （3）了解行列式的等价定义. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 1．会求行列式中元素的余子式、代数余子式. 2．会用定义计算简单的行列式. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
第一章n阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式 来解一类特殊线性方程的克莱姆法则， §1n阶行列式的概念 一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组 ax+a22=6 (a2+a22x2=b2 中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当a,42-a2421≠0时， 即 1≠a2 a21a22 亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为 41a2-a12421 k=6a1-6a aa22-a12a2 我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值.我们称记号 an an a21a22 为二阶行列式，它表示数值442-a,41,即 laag=aaa-a4a a21a2 行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数ag(i=1,2:j=1,2)称为行列 式的元素，i为行标，j为列标 我们可以用消元法来求解三元一次方程组
第一章 n 阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍 n 阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式 来解一类特殊线性方程的克莱姆法则. §1 n 阶行列式的概念 一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当 a11a22 a12a21 0 时， 即 22 12 21 11 a a a a ， 亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为 ， ， 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x 我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值.我们称记号 21 22 11 12 a a a a 为二阶行列式，它表示数值 a11a22 a12a21 ,即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a . 行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数 aij （ i 1,2； j 1,2）称为行列 式的元素， i 为行标， j 为列标. 我们可以用消元法来求解三元一次方程组
a+a2x2+a3=b, a2+a22+a2g=b2 a3x1+a3x3+a33=b3 类似地，可以引进三阶行列式的概念.我们称记号 anan a an az az a31a32a3 为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值： a1422433+a13421a32+a12a23431-a1322031-a11a2332-a124133 a11a22a33+a13a21a32+a31412a23 a21a22a23 (1-1) a31a32a33 -%1022031-411023052-433021412 三阶行列式定义的记法 法二： as d d3 as1 asa tss ds1 ds2 注：法一：在式(1.1)的右边前面带“+”的3项，用线连接起来. 法二：三条从左上到右下的斜线上3个元素乘积的项前带“+”： 三条从右上到左下的斜线上3个元素乘积的项前带“-” 类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四 阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦， 这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的.下面来引进n阶行列式的定 义. 二、n阶行列式的定义 1.n阶行列式的记号由n2个数a(亿，j=1,2,.,m)排成n行n列 21a2.a2n . (1-2) anan2.am
, , , 31 1 32 2 33 3 21 1 22 2 23 2 11 1 12 2 13 1 a x a x a b a x a x a b a x a x a b 类似地，可以引进三阶行列式的概念. 我们称记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值： a1 1a2 2a3 3 a1 3a2 1a3 2 a1 2a2 3a3 1 a1 3a2 2a3 1 a1 1a2 3a3 2 a1 2a2 1a3 3 即 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1-1） 三阶行列式定义的记法 法一： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 法二： 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a 注：法一：在式(1.1)的右边前面带“+”的 3 项，用线连接起来. 法二：三条从左上到右下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“+”； 三条从右上到左下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“-”. 类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四 阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦， 这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的. 下面来引进 n 阶行列式的定 义. 二、 n 阶行列式的定义 1. n 阶行列式的记号 由 2 n 个数 a (i, j 1,2, , n) ij 排成 n 行 n 列 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a (1-2)
称为n阶行列式（筒记为△(am).行列式中横排称为行，纵排称为列，数a (亿，j=1,2,.,)称为行列式的元素，i称为行标，广称为列标 为了明确(1-2)式的含义，我们先来研究n阶行列式中元素am的余子式、 代数余子式. 2.余子式与代数余子式 定义1把n阶行列式(1-2)中元素a,所在的第i行和第j列元素划去后 留下的n-1阶行列式称为元素a的余子式，记作M,即 a1.aajl.an . . M= a-1.a-l-la-jH.a-ln a+l·a-l-1a+jH.a4 . an1.an-l 注意：元素an的余子式与a的取值无关 并称 A=(-1)M (1-3) 为元素a的代数余子式。 例如，对于三阶行列式 anan a3 a31a32a33 第一行元素的代数余子式分别为 41=(←1)a2a2 ,42=(←1281a4,=-10a a32a33 a31 a33 a31a32 利用以上结果可将(1-1)式化简为
称为 n 阶行列式(简记为 ( ) aij ).行列式中横排称为行，纵排称为列，数 ij a (i, j 1,2, ,n) 称为行列式的元素， i 称为行标， j 称为列标. 为了明确（1-2）式的含义，我们先来研究 n 阶行列式中元素 ij a 的余子式、 代数余子式. 2.余子式与代数余子式 定义 1 把 n 阶行列式（1-2）中元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后 留下的 n -1 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，即 n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n j j n ij a a a a a a a a a a a a a a a a M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意：元素 aij 的余子式与 aij 的取值无关. 并称 ij i j Aij M (1) （1-3） 为元素 ij a 的代数余子式. 例如，对于三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 第一行元素的代数余子式分别为 32 33 1 1 22 23 11 ( 1) a a a a A , 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 ( 1) , ( 1) a a a a A a a a a A . 利用以上结果可将（1-1）式化简为
a11a12a3 a21a22a23=a11A1+a12A12+a13A13 a31a32a33 此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素41，a2a13分别与所对应的 代数余子式4,42,4，乘积的和.这与(11)式的定义是一致的，这种利用低阶 行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出n阶行列 式(1-2)的归纳法定义 3.行列式的归纳法定义 定义2n阶行列式(1-2)是由n2个元素a(亿，j=1,2,.,n)所决定的一个 数 当n=2时，定义 a1a2 =a1422-012022 a21a22 假设n-1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式 a1a12.an a21a22 . =a1141+a1242+.+a1nAm (1-4) am an2. 其中A,=1,2,n)是n阶行列式中元素4（=1,2，m)的代数余子式 思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义 的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？ 4.用定义计算行列式 例1求行列式 2-13 2 412 的值
. 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a A a A a A a a a a a a a a a 此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素 11 12, 13 a , a a 分别与所对应的 代数余子式 11 12 13 A , A , A 乘积的和.这与（1-1）式的定义是一致的，这种利用低阶 行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出 n 阶行列 式（1-2）的归纳法定义. 3.行列式的归纳法定义 定义 2 n 阶行列式（1-2）是由 2 n 个元素 a (i, j 1,2, , n) ij 所决定的一个 数. 当 n =2 时，定义 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 a a - a a a a a a 假设 n -1 阶行列式已经定义，则定义 n 阶行列式 n n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 （1-4） 其中 ( 1,2, , ) A1 j j n 是 n 阶行列式中元素 ( 1,2, , ) a1 j j n 的代数余子式. 思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义 的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？ 4. 用定义计算行列式 例 1 求行列式 4 1 2 1 2 1 2 1 3 的值