《线性代数》课程电子教案（C）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

第2-4次课 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 复习向量的线性表示，向量组的线性相关、线性无关，向量组 间的表示、等价关系，向量组的最大无关组与秩，等价的向量组秩 的关系。学习矩阵的秩的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的 关系.如何求向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩 重点：矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系 难点：向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩 教学目的要求： (1)巩固向量组间的表示、等价关系，向量组的最大无关组 与秩等概念： (2)熟练求向量组的最大无关组与秩、向量组秩： 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 练习第二章课后剩余习题， 参考资料： 同济大学编《线性代数》 高等教育出版社

第 2-4 次课 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 复习向量的线性表示，向量组的线性相关、线性无关，向量组 间的表示、等价关系，向量组的最大无关组与秩，等价的向量组秩 的关系。学习矩阵的秩的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的 关系.如何求向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩. 重点：矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系 难点：向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩. 教学目的要求： （1）巩固向量组间的表示、等价关系，向量组的最大无关组 与秩等概念； （2）熟练求向量组的最大无关组与秩、向量组秩； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 练习第二章课后剩余习题. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

§2.4矩阵的秩 定义】矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为A的列 例1求矩阵 [1011 A=012 214 的行秩和列秩。 解A的行向量a=(L,0,1),a2=(01,2),a3=(2,1,4),由行列式 101 012=0 214 知，向量组，2，C3线性相关.又%1，C2线性无关，故心1，a2是A的行向量组的 一个最大无关组.所以矩阵A的行秩等于2. 用同样方法，可以求出A的列秩等于2. 例2求矩阵 「1131] A=02-14 0005 的行秩和列秩 解A的行向量组为%1=(1,1,3,1)，42=(0,2，-1,4)，3=(0,0,0,5).去 掉第三个分量后得到向量C1=(L1,1),2=(0,2,4),3=(0,0,5).由行列式 111 024=10≠0 005 知，向量组心1，a2,心3线性无关.由第三节例5知，向量组C1,C2,C3亦线性无 关.所以A的行秩等于3

§2.4 矩阵的秩 定义 1 矩阵 A 的行向量组的秩称为 A 的行秩，列向量组的秩称为 A 的列 秩. 例 1 求矩阵            2 1 4 0 1 2 1 0 1 A 的行秩和列秩. 解 A 的行向量 (1,0,1) 1  ， (0,1,2)  2  ， (2,1,4) 3  ，由行列式 0 2 1 4 0 1 2 1 0 1  知，向量组 1 2 3  , , 线性相关.又 1 2  , 线性无关，故 1 2  , 是 A 的行向量组的 一个最大无关组.所以矩阵 A 的行秩等于 2. 用同样方法，可以求出 A 的列秩等于 2. 例 2 求矩阵             0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 A 的行秩和列秩. 解 A 的行向量组为 (1,1,3,1) 1  ， (0,2, 1,4)  2   ， (0,0,0,5) 3  .去 掉第三个分量后得到向量 (1,1,1) ' 1  ， (0,2,4) '  2  ， (0,0,5) ' 3  .由行列式 10 0 0 0 5 0 2 4 1 1 1   知，向量组 ' 3 ' 2 ' 1  , , 线性无关.由第三节例 5 知，向量组 1 2 3  , , 亦线性无 关.所以 A 的行秩等于 3

A的列向量组为 a-op o05 4个三维向量必线性相关，而月，B2,B,线性无关，这是因为 111 024=10≠0 005 所以A的列秩亦等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了证明这一点，我们有 以下两个定理 定理1初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 证只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩即可. 下面只就第三种初等行变换不改变矩阵的行秩证明之，其余两种留给作者自 己来完成。 设m×n矩阵A的行向量组为a1,a2,0m,且 A= =B. 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组也可由A的行向量组线性表示所以，矩阵A,B的 行向量组等价.从而矩阵A,B的行向量组的秩相同， 定理1亦可作为初等变换不改变线性方程组中独立方程的个数的理论依据。 定理2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系 为了弄清定理2的含义，我们来看下面例题. 例3设矩阵

A 的列向量组为                                             5 4 1 0 -1 3 0 2 1 0 0 1 1 ，  2 ，  3 ，  2 . 4 个三维向量必线性相关，而 1 2 4  ,  ,  线性无关，这是因为 10 0 0 0 5 0 2 4 1 1 1   . 所以 A 的列秩亦等于 3. 例 1 和例 2 中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了证明这一点，我们有 以下两个定理. 定理 1 初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 证 只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩即可. 下面只就第三种初等行变换不改变矩阵的行秩证明之，其余两种留给作者自 己来完成. 设 mn 矩阵 A 的行向量组为    m , , , 1 2  ,且 B k A m j i j r kr m j i i j                                                               1 1 ~ . 可知，矩阵 A 的行向量组可由 B 的行向量组线性表示. 显然，矩阵 B 的行向量组也可由 A 的行向量组线性表示.所以，矩阵 A ，B 的 行向量组等价.从而矩阵 A， B 的行向量组的秩相同. 定理 1 亦可作为初等变换不改变线性方程组中独立方程的个数的理论依据. 定理 2 初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系. 为了弄清定理 2 的含义，我们来看下面例题. 例 3 设矩阵

「1130] A=02-15 6024 其列向量a41,a2,a1,a4间有线性关系：a4=41+202-&3 对矩阵A作如下初等行变换： 013011301 402-1502-15 0-6-16400-1919 -130]-103 02-15 0204 00100i-1 -0102 001-1001-1 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到.易验证B的列向量B,B2,B,B,间 亦有线性关系：B,=月+2B2-B 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到的矩阵的列向量间同样存在 上述线性关系. 由定理2，可得 推论1初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩. 对于定理2以及推论1，在介绍矩阵的运算之后，可以很容易的证明. 定理3矩阵的行秩等于列秩 证由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标准形

            6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A ， 其列向量 1 2 3 4  , , , 间有线性关系： 4 1  2 2 3 . 对矩阵 A 作如下初等行变换：                            0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 3 6 1 3 3 2 r r r r A                            0 0 1 1 0 2 0 4 1 1 0 3 ~ 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 31 2 3 3 3 ) 1 9 1 ( r r r r r B r r r                          0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 ~ 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 3 ~ 1 2 2 2 1 . 矩阵 B 由矩阵 A 经过有限次初等行变换得到.易验证 B 的列向量 1 2 3 4  ,  ,  ,  间 亦有线性关系：  4  1  2 2   3 . 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到的矩阵的列向量间同样存在 上述线性关系. 由定理 2，可得 推论 1 初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩. 对于定理 2 以及推论 1，在介绍矩阵的运算之后，可以很容易的证明. 定理 3 矩阵的行秩等于列秩. 证 由于 mn 矩阵 A 总可以经过有限次初等变换化为标准形

[10.00.01 01.00.0 . 1=00.10.0 .第r行 00.00.0 . 00.00.0 第列 而矩阵/的行秩等于r,根据定理1及定理2的推论1知，对A进行初等行变换 和初等列变换，它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应等于，即 A的行秩等于列秩】 定义2矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩，记为(A). 对于m×n矩阵A,显然R(4)满足条件：0≤R()≤min{m,n.若A为n阶 方阵，且R(4)=n,则称A为满秩矩阵 由以上定理及定义2即得 推论1若矩阵A台B,则R(4)=R(B) 推论1给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知矩阵A化为阶梯形矩阵后， 阶梯形矩阵的非零行数就是A的秩。 例4设矩阵 「1-2-1021 -2426-6 A= 2 -1023 33334 求R() 解 「1-2-1021 1 -2 -10 21 +2 0006-2 3 2 2 -1 3 22 0 0 0 6 -2 09 63-2 10 0 0 -3 1

第 行 第 列 r r m n I                                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ， 而矩阵 I 的行秩等于 r ，根据定理 1 及定理 2 的推论 1 知，对 A 进行初等行变换 和初等列变换，它的行秩和列秩都不改变，所以 A 的行秩和列秩都应等于 r ，即 A 的行秩等于列秩. 定义 2 矩阵 A 的行秩和列秩，统称为矩阵 A 的秩，记为 r(A) . 对于 mn 矩阵 A ，显然 R(A) 满足条件： 0  R(A)  min{m,n}.若 A 为 n 阶 方阵，且 R(A)  n,则称 A 为满秩矩阵. 由以上定理及定义 2 即得 推论 1 若矩阵 A  B ，则 R(A)  R(B) . 推论1给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知矩阵 A 化为阶梯形矩阵后， 阶梯形矩阵的非零行数就是 A 的秩. 例 4 设矩阵                   3 3 3 3 4 2 1 0 2 3 2 4 2 6 6 1 2 1 0 2 A ， 求 R(A). 解                     0 9 6 3 2 0 3 2 2 1 0 0 0 6 2 1 2 1 0 2 ~ 3 1 2 1 4 1 2 2 3 r r r r r r A                    0 0 0 3 1 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 0 2 ~ 4 3 2 3 r 3r r r