《线性代数》课程电子教案（C）第二章 矩阵与向量 2-2 向量及其线性运算

第2-2_课 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 向量的线性运算，向量空间，子空间. 重点： 向量的线性运算，向量空间 难点： 理解向量空间的概念 教学目的要求： (1)会计算向量的线性运算： (2)理解向量空间、子空间的概念 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第54页第1题(1)(2). 参考资料： 同济大学编《线性代数》 高等教育出版社

第 2-2 课 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 向量的线性运算，向量空间，子空间. 重点： 向量的线性运算,向量空间. 难点： 理解向量空间的概念. 教学目的要求： （1）会计算向量的线性运算； （2）理解向量空间、子空间的概念. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 54 页第 1 题（1）（2）. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

§2.2向量及其线性运算 本节本节把解析几何中已学过二维、三维向量及其线性运算推广到n维空间 上。 定义1n个有顺序的数a,a,.,a,组成的有序数组 a=(a,a2,.,an） 叫做n维向量.数a,a2,.,an叫做向量a的分量（或坐标），a,（j=l,2,.n) 叫做α的第j个分量（或坐标）. 若以R表示全体实数的集合，分量a,∈R(j=l,2,.n)的向量a=（a, a,.,an)称实向量.本章只讨论定义在R上的向量 例如，n元线性方程组 [ax+ax++aux=b: azx+azx2+.+aznxn=b2, am+am22+.+amx=bm 中第i(1sism)个方程 anx+an2x2++am x=b 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (aa,a2,.,am,b）. 而该方程的一个解xC,x2=C2,.,xn=cn可用一个n维向量 来表示.方程组(2-2)的解构成的n维向量叫做该方程组的解向量 向量相等：设a=(a,a,.，a,B=(6,6,.,b.)都是n维 向量.当且仅当分量a,=b,(j=1,2,.n)时，称向量u与B相等，记作a=B, 零向量：分量都是0的向量叫做零向量，记作0，即 0=(0,0,.,0)

§2.2 向量及其线性运算 本节本节把解析几何中已学过二维、三维向量及其线性运算推广到 n 维空间 上。 定义 1 n 个有顺序的数 1 a ， 2 a ，. ，an 组成的有序数组  =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ） 叫做 n 维向量.数 1 a ， 2 a ，. ，an 叫做向量  的分量（或坐标）， a j （ j =1,2,. n ） 叫做  的第 j 个分量（或坐标）. 若以 R 表示全体实数的集合，分量 a j  R （j=1,2,. n ）的向量  =（ 1 a ， 2 a ，. ， an ）称实向量.本章只讨论定义在 R 上的向量. 例如， n 元线性方程组                    . . . . , . , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 中第 i (1  i  m )个方程 i1 a 1 x + i2 a 2 x +.+ in a n x = i b 的系数和常数项对应着一个 n +1 维向量 （ i1 a ， i2 a ，. ， in a ， i b ）. 而该方程的一个解 1 x = 1 c ， 2 x = 2 c ，.， n x = n c 可用一个 n 维向量 （ 1 c ， 2 c ，.， n c ） 来表示.方程组（2-2）的解构成的 n 维向量叫做该方程组的解向量. 向量相等：设  =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ），  =（ 1 b ， 2 b ，.， n b ）都是 n 维 向量.当且仅当分量 a j = j b （ j =1,2,. n ）时，称向量  与  相等，记作  =  . 零向量：分量都是 0 的向量叫做零向量，记作 0，即 0=（0，0，.,0）

注意维数不同的零向量不相等.如a,=(0,0),a2=(0,0,0)都是零向量，但 a,≠a2.因为它们的维数不同. 负向量：向量(-a,-a,.，-an)称为向量a=（a,a2,.,an) 的负向量，记作-.显然，向量a也可称为向量-α的负向量. 1.向量的加法运算 定义2设a=(a,a2,.,an),B=(b,b,.,bn)都是n维向量. 向量（a+6,a+h,an+b)称为向量a与B的和，记作a+B,即 a+B=(a+b,az+b2,.a+b). 由负向量即可定义向量的减法： a-B=a+(-B)=(a1-b,a2-b,.,a.-bn）. 2.向量的数乘运算 定义3设a=(a1,a2,.,an)为n维向量，元eR.向量（元a1,元a2,., 1an)叫做数1与向量a的乘积，记作1a,即 元a=(2a,a2,.，元an）. 根据定义3，有 0a=0: (-1)a=-a: 10-0. 如果1≠0，a≠0，那么1a≠0. 数与向量的乘法运算简称为向量的数乘运算， 向量的相加及数乘两种运算，统称为向量的线性运算.它满足以下八条运算 规律（设a、B、y都是n维向量，A、HeR): (1)a+B=B+a: (2)(a+B)+y=a+(B+y): (3)a+0-a: (4)a+(-a)=0: (5)1a=a; (6)元(4a)=(24)a:

注意维数不同的零向量不相等.如 1 a =（0，0）， 2 a =（0，0，0）都是零向量，但 1 a  2 a .因为它们的维数不同. 负向量：向量（- 1 a ，- 2 a ，. ， -an ）称为向量  =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ） 的负向量，记作- .显然，向量  也可称为向量- 的负向量. 1.向量的加法运算 定义 2 设  =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ），  =（ 1 b ， 2 b ，.， n b ）都是 n 维向量. 向量（ 1 a + 1 b ， 2 a + 2 b ，., an + n b ）称为向量  与  的和，记作  +  ，即  +  =（ 1 a + 1 b ， 2 a + 2 b ，., an + n b ）. 由负向量即可定义向量的减法：  -  = +（-  ）=（ 1 a - 1 b ， 2 a - 2 b ，.， an - n b ）. 2. 向量的数乘运算 定义 3 设  =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ）为 n 维向量，   R.向量（  1 a ， 2 a ，. ，  an ）叫做数  与向量  的乘积，记作   ，即   =（  1 a ， 2 a ，. ， an ）. 根据定义 3，有 0  =0； （-1）  =- ；  0=0. 如果   0，  0，那么    0. 数与向量的乘法运算简称为向量的数乘运算. 向量的相加及数乘两种运算，统称为向量的线性运算.它满足以下八条运算 规律（设  、  、 都是 n 维向量，  、   R）： （1）  +  =  +  ； （2）（  +  ）+  = +（  +  ）； （3）  +0=  ； （4）  +（- ）=0； （5）1  = ； （6）  （   ）=(   )  ；

(7)1(a+B)=1a+1B;(8)(1+μ)a=1a+1a. 在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算.其中规律(3)与(4) 保证加法有逆运算，即若a+B=y,则y+(-B)=a:(5)与(6)保证乘非零 数有逆运算，即当元+0时，若入a=y,则y=a。 例1设a=(1,3,-2,2),B=(5,1,-2,0).若已知a+2y=3B,向 量y. 解由a+2y=3B,得 78B-a)15.3.60-4,322] 号14,0，-4，-2)=7,0，-2，-0 定义1是将n维向量写成行的形式，即a=(a,a,a,).但有时也 写成列的形式： a La.] 作为向量，写成行（行向量）还是写成列（列向量）只是写法上的不同而没有 本质的区别. 3 例2已知向量4，= 3 3a1-4a2=17, 求向量2%1+3a2. -2 解由 「31 -7 3,-4、=17 -2 8 得

（7）  （  +  ）=   +   ； （8）（  +  ）  =  +   . 在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算.其中规律（3）与（4） 保证加法有逆运算，即若  +  = ，则  +（-  ）= ;（5）与（6）保证乘非零 数有逆运算，即当   0 时，若   = ，则  1  = . 例1 设  =（1，3，-2，2），  =（5，1，-2，0）.若已知  +2  =3  ，向 量  . 解 由  +2  =3  ,得  = 2 1 （3  - ）= 2 1 [（15，3，-6，0）-（1，3，-2，2）] = 2 1 （14，0，-4，-2）=（7，0，-2，-1）. 定义 1 是将 n 维向量写成行的形式，即  =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ）.但有时也 写成列的形式：  =              n a a a 2 1 . 作为向量，  写成行（行向量）还是写成列（列向量）只是写法上的不同而没有 本质的区别. 例 2 已知向量                   4 2 3 1 5 1 ，                     8 2 17 7 3 3 4 1  2 ，求向量 21  3 2 . 解 由                     8 2 17 7 3 3 4 1  2 ， 得

「51「3 [121「3 1 ,-4 - -8 22 4 8 14 所以 「10] 91 [191 2a1+3a2- 4 6 ol 3 11 3.向量空间 定义4设V为n维向量集合.如果V非空，且V对于向量的加法及数与向 量的乘法预算封闭，那么就称集合V为向量空间。 所谓集合V对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭是指，若∈V,BeV 则a+BeV,以及若a∈V,eR,则a∈. 例3集合 V,={X=(0,x2,.,Xn)lx2,.,xn∈R 是一个向量空间.因为若a=(0,a2,an)e,B=(0,b2,b)eK,则 a+B=(0az +ba.a.+b)vi,a=(0az.a)EV. 例4集合 V2=x=(R) 不是向量空间.因为若a=(1,a2,an)∈2，则2a=(2,2a2,2an)E 全体n维实向量构成的集合记作R”,即 R0={x=(6,x2,x川x,2,xn∈R}. 容易验证，R”是一向量空问. 设有向量空间及'2，若Vc2,则称是'的子空间. 例5设

                                                                         1 2 2 1 3 4 8 8 4 12 4 1 ) 8 2 17 7 3 4 2 3 1 5 (3 4 1  2 . 所以                                                       11 10 0 1 19 3 6 6 3 9 8 4 6 2 10 2 3 1  2 . 3.向量空间 定义 4 设 V 为 n 维向量集合.如果 V 非空，且 V 对于向量的加法及数与向 量的乘法预算封闭，那么就称集合 V 为向量空间. 所谓集合 V 对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭是指，若   V,   V, 则     V，以及若   V，  R,则   V. 例 3 集合 V 1 ={ x =(0,x 2 ,.，x n )|x 2 ,.，x n  R} 是 一 个 向 量 空 间 . 因为若 2 1   (0,a ,,an )V ， 2 1   (0,b ,,bn )V ， 则 2 2 1     (0,a  b ,,an  bn )V ， 2 1   (0,a ,,an )V . 例 4 集合 { (1, , , } V2  x  x2  xn  R 不是向量空间.因为若 (1, , , ) ,   a2  an V2 则 2 2 2  (2,2a ,,2an )V . 全体 n 维实向量构成的集合记作 n R ，即 { ( , , , ) | , , , } R x x1 x2 xn x1 x2 xn R n      . 容易验证， n R 是一向量空间. 设有向量空间 V1 及 V2 ，若 V1  V2 ，则称 V1 是 V2 的子空间. 例 5 设