教学课型：理论课☑实验课口习题课口 第1-4节 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 克莱姆法则，用克莱姆法则解线性方程组， 重点： 克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的条件. 难点： 克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的条件 教学目的要求： (1)熟悉克菜姆法则. (2)会判断齐次线性方程组是否有非零解， (3)会用克莱姆法则解线性方程组. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第28页第7题(2)，(3)， 第29页第10题. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
第 1-4 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 克莱姆法则，用克莱姆法则解线性方程组. 重点： 克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的条件. 难点： 克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的条件. 教学目的要求： （1）熟悉克莱姆法则. （2）会判断齐次线性方程组是否有非零解. （3）会用克莱姆法则解线性方程组. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 28 页第 7 题（2），（3）， 第 29 页第 10 题. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
第四节克莱姆(Gramer)法则 前面我们研究了阶行列式的定义、性质及其计算，像第一节所讨论的用二 阶、三阶行列式表示二元、三元线性方程组的解一样，现在我们就利用阶行列 式来求解一类特殊形一一方程的个数与未知量的个数一样多的n元线性方程组. 考虑n元线性方程组 a+a2x2+.+ainxn=b a+a2x2+.+aznx=b2 (1-1) amx+an2x2+.+amnxn =bn 其未知量的系数构成的行列式 a11a12.an D=1a2 a2n am an2 a 称为方程组(1-1)的系数行列式. 瑞士数学家克莱姆研究给出了求解方程组(1-1)一种方法，称为克莱姆法 则. 定理1（克莱姆法则）如果线性方程组(1-1)的系数行列式D+0,则方 程组(1-1)有唯一的解，且 会号 D (1-2) D 其中，D,是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b,b2,.,bn代替后 所得到的n阶行列式，即 a1.a-baj4l.an D,=a1.a-2642a 0=1,2,.m). a.ay-nb.arn.a 分析：将(1-2)变形可以得到 x,D=D,U=12.m) (1-3)
第四节 克莱姆（Gramer）法则 前面我们研究了 n 阶行列式的定义、性质及其计算.像第一节所讨论的用二 阶、三阶行列式表示二元、三元线性方程组的解一样，现在我们就利用 n 阶行列 式来求解一类特殊形——方程的个数与未知量的个数一样多的 n 元线性方程组. 考虑 n 元线性方程组 n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b . . . . 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 （1-1） 其未知量的系数构成的行列式 n n n n n n a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 称为方程组（1-1）的系数行列式. 瑞士数学家克莱姆研究给出了求解方程组（1-1）一种方法，称为克莱姆法 则. 定理 1（克莱姆法则） 如果线性方程组（1-1）的系数行列式 D 0 ，则方 程组（1-1）有唯一的解，且 D D x 1 1 ， D D x 2 2 ，.， D D x n n （1-2） 其中， Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用常数项 1 b ， 2 b ，， n b 代替后 所得到的 n 阶行列式，即 n j n n n j n n n j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( j 1,2, n) . 分析：将（1-2）变形可以得到 x jD Dj ，( j 1,2, n) . （1-3）
当D≠0时，方程组(1-3)有唯一解. 要证明结论，只要证明下面两点：1.方程组(1-1)的解都是方程组(1-3) 的解：2.当D≠0时，方程组(1-3)有唯一的解是(1-2)，再验证(1-2)也 是方程组(1-1)的解，综上可得结论 证明1.x,=1,2,)是方程组(1-1)的解，下面验证x,=1,2,) 也是方程组(1-3)的解. 将x,U=1,2,m)代入(1-3)第j(j=1,2,n)个方程左端得 a1a12.ana1.x,ay.a a21.xa2.a2m x,D=x . . . am an2.xaw.ann x,dw (i-l.-j-1j+l.) . a. a1.a-bayl.an a21.a2b2a2+2.a2n =Di 即 x,D=D,U=l2.m) (1-3) 也就是方程组(1-1)的解都是方程组(1-3)的解 2.当D≠0时，得(1-3)式有唯一解 y号=20 (1-2) 由证明1知，如果方程组(1-1)有解，就只能是解(1-2) 下面验证(1-2)式一定是方程组(1-1)的解.将(1-2)是代入方程组(1-1)
当 D 0 时，方程组（1-3）有唯一解. 要证明结论，只要证明下面两点：1.方程组（1-1）的解都是方程组（1-3） 的解；2. 当 D 0 时，方程组（1-3）有唯一的解是（1-2），再验证（1-2）也 是方程组（1-1）的解，综上可得结论. 证明 1. x ( j 1,2,.,n) j 是方程组（1-1）的解，下面验证 x ( j 1,2,.,n) j 也是方程组（1-3）的解. 将 x ( j 1,2,.,n) j 代入（1-3）第 j ( j 1,2,.,n) 个方程左端得 x jD = j x n n n n n n a a a a a a a a a . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 n j n j n n j j n j j n a x a a a x a a a x a a . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 2 1 1 1 1 j i i c x c i j j n ( 1,, 1, 1,, ) n n n j n j n j n n j j j n n j j j a x a a a x a a a x a a . . . . . . . . . . . 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 n n j n n j n n j j n j j n a a b a a a a b a a a a b a a . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 = Dj ， 即 x jD Dj ，( j 1,2, n) (1-3) 也就是方程组（1-1）的解都是方程组（1-3）的解. 2.当 D 0 时，得（1-3）式有唯一解 j x = D Dj ( j 1,2, n) . （1-2） 由证明 1 知，如果方程组（1-1）有解，就只能是解（1-2）. 下面验证（1-2）式一定是方程组（1-1）的解.将（1-2）是代入方程组（1-1）
中第1个方程的左边并化简，可得 a+aaa8+a会+*a.号 =6a,0+a0+ta.D) =a.64++64)+a64+.+6) +.+an(6An++b。Anm】 =6a4++a4.)+.+ba4++an4.)++h.a4++a,A】 =00.0bD0.0)=6. 这说明(1-2)式是方程组(1-1)的解.定理1证毕. G-克莱姆(Cramer·Gabriel,1704.7.31-1752.1.4,瑞士数学家) 克莱姆是瑞士数学家.生于日内瓦，卒于法国塞兹河畔巴尼奥勒口.早年在 日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750 年任哲学教授. 生平筒介：他自1727年进行为期两年的旅行访学四。在巴塞尔与约翰.伯 努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库 也留下大量有价值的文献回.1734年成为几何学教授四m.1750年任哲学教
中第 i 个方程的左边并化简，可得 1 1 a xi + 2 2 a x i +.+ in n a x = ai1 D D1 + ai2 D D2 +.+ in a D Dn = D 1（ai1D1 ai2D2 . ainDn） = D 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 [ . . ai b A bnAn ai b A bnAn . ] ain b1A1n bnAnn = D 1 b ai A ainA n bi ai Ai ainAin bn ai An ainAn n . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = D 1 （0+.+0+ biD +0+.+0）= i b . 这说明（1-2）式是方程组（1-1）的解. 定理 1 证毕. G•克莱姆（Cramer• Gabriel, 1704.7.31-1752.1.4，瑞士数学家）. 克莱姆是瑞士数学家.生于日内瓦，卒于法国塞兹河畔巴尼奥勒 [1] . 早年在 日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734 年成为几何学教授，1750 年任哲学教授. 生平简介：他自 1727 年进行为期两年的旅行访学 [2][1] 。在巴塞尔与约翰．伯 努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库 也留下大量有价值的文献 [2] . 1734 年成为几何学教授 [2][1] . 1750 年任哲学教
授回.他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、 柏林研究院和法国、意大利等学会的成员回山 主要成就：克莱姆的主要著作是《代数曲线的分析引论》(1750)，首先 定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的 纵轴(Y轴)，然後讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类.为了 确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由 线性方程组的系数确定方程组解的表达式.该法则于1729年由英国数学家马克 劳杜(Maclaurin,Colin,1698~1746)得到，1748年发表，但克莱姆的优越 符号使之流传.他还提出了“克莱姆悖论” []Gabriel Cramer,MacTutor History of Mathematics archive[引用日期2015-08-l6]. [2]梁宗巨等，数学家传略辞夷：山东教有出版社，1989：305， 例1解线性方程组 x1+2x2-x+3x4=2 2x-x2+3x-2x4=7 3x2-x3+x4=6 x-x2+x3+4x4=-4 解 12-1312-13 2-13-22-210-55-8 D=03-1103-11 1-1140-321 55-819-3-8 3-11001 19-3 -321 c2-e3 63i卜63-9≠0， 故方程组有唯一解。又 22-13 12-13 7-13-2 07 3 D.= 63-11=-39, -1 4-114 1-41
授 [2] .他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、 柏林研究院和法国、意大利等学会的成员 [2][1] . 主要成就： 克莱姆的主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750 [1]），首先 定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一 次正式引入坐标系的 纵轴（Y 轴），然後讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类.为了 确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由 线性方程组的系数确定方程组解的表达式.该法则于 1729 年由英国数学家马克 劳林（Maclaurin，Colin，1698～1746）得到，1748 年发表，但克莱姆的优越 符号使之流传.他还提出了“克莱姆悖论” [1] . [1] Gabriel Cramer,MacTutor History of Mathematics archive[引用日期 2015-08-16]. [2] 梁宗巨等,数学家传略辞典：山东教育出版社，1989：305. 例 1 解线性方程组 4 4 3 6 2 3 2 7 2 3 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 解 D= 1 1 1 4 0 3 1 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 2 1 3 1 r r r r 0 3 2 1 0 3 1 1 0 5 5 8 1 2 1 3 = 3 2 1 3 1 1 5 5 8 1 3 3 2 3 c c c c 6 3 1 0 0 1 19 3 8 =- 6 3 19 3 =-39 0. 故方程组有唯一解.又 39 4 1 1 4 6 3 1 1 7 1 3 2 2 2 1 3 1 D ， 117, 1 4 1 4 0 6 1 1 2 7 3 2 1 2 1 3 2 D