·22 第一章概率论的基本概念 由定义，可以得到以下两个推论 1°若事件A1,A2,.,A.(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也 是相互独立的。 2°若n个事件A1,A2,.,A.(n≥2)相互独立，则将A1,A2,.,A.中任意多 个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立· 1°由独立性定义可直接推出.2从直观上看是显然的.对于=2时，在定 理二已作了证明，一般的情况由数学归纳法容易证得，此处略】 两事件相互独立的含义是它们中一个已发生，不影响另一个发生的概率， 在实际应用中，对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断，一般，若 由实际情况分析，A,B两事件之间没有关联或关联很微弱，那就认为它们是相 互独立的，例如A,B分别表示甲、乙两人患感冒·如果甲、乙两人的活动范围 相距甚远，就认为A,B相互独立.若甲乙两人是同住在一个房间里的，那就不 能认为A、B相互独立了， 例2一个元件（或系统）能正常工作的概率 称为元件（或系统）的可靠性，如图1一8，设有4 个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的 方式连接（称为串并联系统）.设第i个元件的可 靠性为p,(i=1,2,3,4),试求系统的可靠性. 解以A,(i=1,2,3,4)表示事件“第i个元 图1-8 件正常工作”，以A表示事件“系统正常工作” 系统由两条线路【和Ⅱ组成（如图1一8）.当且仅当至少有一条线路中的两 个元件均正常工作时这一系统正常工作，故有 A=AA:U A,A. 由事件的独立性，得系统的可靠性 P(A)=P(A:A2)+P(A:A.)-P(AA:A,A,) =P(A)P(A:)+P(A3)P(A,)-P(A:)P(A:)P(A:)P(A,) =pp:十p一p1p:p3p 例3要验收一批(100件)乐器.验收方案如下：自该批乐器中随机地取3 件测试（设3件乐器的测试的结果是相互独立的），如果3件中至少有一件在测 试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试 查出其为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的 概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器 被接收的概率是多少？ 解设以H,(i=0,1,2,3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音 色不纯”，H。,H1,H2,H是S的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收
小结 ·23· 已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0.99，而一件音色不纯 的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为0.05，并且3件乐器的测试的结果是 相互独立的，于是有 P(A|H)=0.993,P(A1H1)=0.992×0.05 P(A1H2)=0.99×0.052,P(AH3)=0.05 而 r-(9/2.PH)-(298)。 故 P(A)=∑P(A|H,)P(H,)=0.8574+0.0055+0+0 =0.8629. 例4甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,p≥1/2.问对甲而 言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立 解采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或 “甲乙甲”.而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为 p,=p2+2p2(1-p). 采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3局（可能赛3局，也可能赛4局 或5局)，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，例如，共赛4局，则甲的 胜局情况是：“甲乙甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容，由 独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为 p=p+(2)p(1-p)+(2)p(1-p2. 而 p:-p1=p2(6p3-15p2+12p-3) =3p(p-1)2(2p-1). 当p>2时p:>p:当p=2时m=P一2，故当p>2时，对甲来说采用五局 三胜制为有利.当p=)时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50%. 小结 随机试验的全部可能结果组成的集合S称为样本空间，样本空间S的子集称为事件， 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生，事件是一个集合，因而事件间 的关系与事件的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合的运算来处理，集合间的关
24· 第一章概率论的基本概念 系和集合的运算，读者是熟悉的，重要的是要知道它们在概率论中的含义。 在一次试验中，一个事件（除必然事件与不可能事件外）可能发生也可能不发生，其发生 的可能性的大小是客观存在的·事件发生的频率以及它的稳定性，表明能用一个数来表征事 件在一次试验中发生的可能性的大小，我们从频率的稳定性及频率的性质得到启发和抽象 给出了概率的定义·我们定义了一个集合（事件）的函数P(·),它满足三条基本性质：1°非 负性，2"规范性，3°可列可加性，这一函数的函数值P(A)就定义为事件A的概率。 概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质，并未对事件A的概率P(A)给定一个 具体的数，只在古典概型的情况，对于每个事件A给出了概率P(A)=k/m(4.1)式). 般，我们可以进行大量的重复试验，得到事件A的频率，而以频率作为P(A)的近似值，或者 根据概率的性质分析，得到P(A)的取值. 在古典概型中，我们证明了条件概率的公式 P(BA) P(A)>0. (5.2) 在一般的情况，(5.2)式则作为条件概率的定义.固定A,条件概率P(·|A)具有概率定义中 的三条基本性质，因而条件概率是一种概奉· 有两种计算条件概率P(BA)的方法：(I)按条件概率的含义，直接求出P(BA).注意 到，在求P(BA)时已知事件A已发生，样本空间S中所有不属于A的样本点都被排除，原 有的样本空间S缩减成为S=A.在缩减了的样本空间S=A中计算事件B的概率就得到 P(BA).(2)在S中计算P(AB)及P(A),再按(5.2)式求得P(B引A). 将(5.2)式写成 P(AB)=P(BI A)P(A). P(A)>0. (5.3) 这就是乘法公式，我们常按上述第一种方法求出条件概率，从而按(5.3)可求得P(AB). 事件的独立性是概率论中的一个非常重要的概念，概率论与数理统计中的很多很多内 容都是在独立的前提下讨论的，应该注意到，在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不 是根据定义来验证而是根据实际意义来加以判断的·根据实际背景判断事件的独立性，往往 并不困谁 ■重要术语及主题 下面列出了本章的重要术语及主题，请读者写出它们的定义或内容，然后与教材中的陈 述校核，看看你是否写对了·这样做旨在使读者在复习时收到较好的效果】 随机试验样本空间随机事件基本事件频率概率古典概型A的对立事件 万及其概率两个互不相容事件的和事件的概率概率的加法定理条件概率概率的乘 法公式全概率公式贝叶斯公式事件的独立性实际推断原理 习题 1.写出下列随机试验的样本空间S: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 (3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查
习 题 ·25· 出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果 (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 2.设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件 (1A发生，B与C不发生 (2)A与B都发生，而C不发生 (3)A,B,C中至少有一个发生， (4)A,B,C都发生. (5)A,B,C都不发生 (6)A,B,C中不多于一个发生 (7)A,B,C中不多于两个发生 《8)A,B,C中至少有两个发生 3.(1)设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率. (2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)= 1/20,P(ABC)=1/30,求AUB,AB,AUBUC,ABC,ABC,ABUC的概率. (3)已知P(A)=1/2,()若A,B互不相容，求P(AB),(i)若P(AB)=1/8,求P(AB). 4.设A,B是两个事件。 (1)已知AB=万B,验证A=B. (2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB). 5.10片药片中有5片是安慰剂。 (1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率 6.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的 县码 (1)求最小号码为5的概率。 (2)求最大号码为5的概率 7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签 脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾 客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？ 8.在1500件产品中有400件次品、1100件正品.任取200件. (1)求恰有90件次品的概率. (2)求至少有2件次品的概率。 9.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 10.在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果 为ability的概率 11.将3只球随机地放人4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱.每个部件用3只 铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件
·26 第一章概率论的基本概念 强度太弱的概率是多少？ 13.一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生 (1)在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率. (2)在其中任选5名学生，求一，二、三、四年级的学生均包含在内的概率 14.(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求条件概率P(BAUB), (2)已知P(A)=1/4,P(BA)=1/3,P(AB)=1/2,求P(AUB). 15.掷两颗骰子，已知两颗酸子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种 方法). 16.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律 P{孩子得病》=0.6，P(母亲得病孩子得病}=0.5， P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4， 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率. 17.已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样.求下 列事件的概率： (1)两件都是正品. (2)两件都是次品 (3)一件是正品，一件是次品 (4)第二次取出的是次品. 18.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接 通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 19.(I)设甲袋中装有只白球、m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球.今从甲袋 中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少？ (2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球.先从第- 盒中任取2只球放人第二盒中去，然后从第二盒中任取一只球.求取到白球的概率。 20.某种产品的商标为“MAXAM",其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后 仍为“MAXAM”的概率. 21.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中 随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？ 22.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二 次及格的概率也为p:若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2 (1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率 (2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 23.将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为 0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的颜繁程度为2：1.若接收站收 到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？ 24.有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品：第二箱装30只，其中18只 等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率