习 题 ·27 (2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率 25.某人下午5：00下班，他所积累的资料表明： 到家时间5：355：395±40~5：445145~5：495：50~5：54迟于5154 乘地铁的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是514？到家的.试求他是乘地铁回家的 概率. 26.病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8.若浇水则 树死去的概率为0.15.有0.9的把握确定邻居会记得浇水。 (1)求主人回来树还活着的概率。 (2)若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率， 27.设本题涉及的事件均有意义.设A,B都是事件 (1)已知P(A)>0.证明P(ABA)≥P(AB引AUB) (2)若P(AB)=1,证明P(B引A)=1. (3)若设C也是事件，且有P(A|C≥P(BC),P(A,C)≥P(B引C),证明P(A)≥P(B)」 28.有两种花籽，发芽率分别为08,09，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立.求 (1)这两颗花籽都能发芽的概率。 (2)至少有一颗能发芽的概率 (3)恰有一颗能发芽的概率。 29.根据报道美国人血型的分布近似地为：A型为37%，0型为44%，B型为13%，AB型 为6%.夫妻拥有的血型是相互独立的。 (1)B型的人只有输人B、O两种血型才安全，若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻 的安全输血者的概率。 (2)随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率. (3)随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率 (4)随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是0型的概率. 30.(1)给出事件A、B的例子，使得 (i)P(A1B)<P(A),(i)P(A1B)=P(A),(i)P(A|B)>P(A). (2)设事件A,B.C相互独立，证明(DC与AB相互独立.()C与AUB相互独立 (3)设事件A的概率P(A)=O,证明对于任意另一事件B,有A,B相互独立. (4)证明事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(AB). 3L.设事件A,B的概率均大于零，说明以下的叙述(1)必然对.(2)必然错.(3)可能对 并说明理由. (1)若A与B互不相容，则它们相互独立. (2)若A与B相互独立，则它们互不相容 (3)P(A)=P(B)=0.6,且A,B互不相容. (4)P(A)=P(B)=0.6,且A,B相互独立
28. 第一章概率论的基本概念 32.有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有概率0.005报导为假阳性（即不带艾滋病毒 者，经此检验法有0.005的概率被认为带艾滋病毒).今有140名不带艾滋病毒的正常人全部 接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？ 33.盒中有编号为1,2,3,4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是1号 或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”验证： P(AB)=P(A)P(B).P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C). 巴 P(ABC)P(A)P(B)P(C). 即事件A,B,C两两独立，但A,B,C不是相互独立的. 34.试分别求以下两个系统的可靠性： (1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性分别为p,p:,a,力，将它们按题 34图(1)的方式连接（称为并串联系统）. (2) 题34图 (2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们的可靠性均为p,将它们按题34图(2)的 方式连接（称为桥式系统）. 35.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关 并联以改善可靠性在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报 就发出.如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭 合的概率)，问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少 为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的 36.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人 中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 37,设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球：第二只盒子中装有2只蓝球，3 只绿球，4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球， (1)求至少有一只蓝球的概率. (2)求有一只蓝球一只白球的概率， (3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率. 38.袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取 枚，将它投掷，次，已知每次都得到国徽.问这枚硬币是正品的概率为多少？ 39.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2% (这一事件记为A),损坏10%（事件A2),损坏90%（事件A),且知P(A)=0.8,P(A)
习题 ·29· 0.15,P(A)=0.05.现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事 件记为B).试求P(A,|B),P(A,|B),P(A,|B)(这里设物品件数很多，取出一件后不影响 取后一件是否为好品的概率) 40.将A、B、C三个字母之一输人信道，输出为原字母的概率为a,而输出为其他一字母 的概率都是(1一a)/2.今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输人信道，输入AAAA,BBBB CCCC的概率分别为p1,p,(p十p十，=1)，已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的 概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的.） 帽 州
第二章随机变量及其分布 §1随机变量 在第一章我们看到一些随机试验，它们的结果可以用数来表示.此时样本空 间S的元素是一个数，如S,S;但有些则不然，如S,S2.当样本空间S的元素 不是一个数时，人们对于S就难以描述和研究.现在来讨论如何引入一个法则， 将随机试验的每一个结果，即将S的每个元素与实数x对应起来.从而引入了 随机变量的概念.我们从例题开始讨论. 例1在第一章§4例1中，将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的 情况，样本空间是 S=(HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT). 以X记三次投掷得到正面H的总数，那么，对于样本空间S={》①中的每一个 样本点，X都有一个数与之对应.X是定义在样本空间S上的一个实值单值函 数.它的定义域是样本空间S,值域是实数集合{0,1,2,3}.使用函数记号可将X 写成 (3,e=HHH, X=X(e)= 2,e=HHT,HTH,THH, 1,e=HTT,THT,TTH, 0,e=TTT. 例2在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只 球，在袋中任取一只球，放回，再任取一只球，记录它们 3 的号码，试验的样本空间为S={e}={(i,j)|i,j=1, 2 2,3},i,j分别为第1，第2次取到的球的号码.以X记 45 14 两球号码之和.我们看到，对于试验的每一个结果e= (i,j)∈S,X都有一个指定的值i+j与之对应.（如图 123 2一1).X是定义在样本空间S上的单值实值函数.它 的定义域是样本空间S.值域是实数集合{2,3,4,5， 图2-1 ①我们用e代表样本空间的元素，而将样本空间记成e
§1 31 6以.X可写成 X=X()=X(i,j)=i+j,i,j=1,2,3. ▣ 一般有以下的定义. 定义设随机试验的样本空间为S=(e以.X=X(e)是定义在样本空间S上 的实值单值函数.称X=X()为随机变量0①， 图2一2画出了样本点e与实数X=X(e)对应的示意图 有许多随机试验，它们的结果本身是 个数，即样本点e本身是一个数.我们令X =X(e)=e,那么X就是一个随机变量.例 e◆ 如，用Y记某车间一天的缺勤人数，以W记 某地区第一季度的降雨量，以Z记某工厂 图2-2 天的耗电量，以N记某医院某一天的挂号人 数.那么Y,W,Z,N都是随机变量. 本书中，我们一般以大写的字母如X,Y,Z,W,.表示随机变量，而以小写 字母x,y,z,.表示实数 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率， 因而随机变量的取值有一定的概率，例如，在例1中X取值为2，记成(X=2}, 对应于样本点的集合A={HHT,HTH,THH},这是一个事件，当且仅当事件 A发生时有{X=2.我们称概率P(A)=P(HHT,HTH,THH)为{X=2)的 概率，即P(X=2}=P(A)=3/8.以后，还将事件A={HHT,HTH,THH)说 成是事件{X=2).类似地有 P(X<1)=P(HTT,THT,TTH,TTT)-7. 一般，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成{X∈L}.它表示事件B ={eX(e)∈L},即B是由S中使得X(e)∈L的所有样本点e所组成的事件， 此时有 P{X∈L}=P(B)=P{eIX(e)∈L 随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它 的取值有一定的概率.这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异. 随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，并能利用数学 分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论· ①严格地说“对于任意实数x,集合{X(e)≤x(即，使得X(e≤x的所有样本点e所组成的集 合)有确定的概率”这一要求应包括在随机变量的定义之中，一般来说，不满足这一条件的情况，在实际应 用中是很少遇到的。因此，我们在定义中未提及这一要求