§5条件概率 ·17· t十a ra =,+2+3a‘r+1+2a‘+1+a‘r+t ◇ 例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第 一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次 落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解以A,(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜 落下三次而未打破”.因为B=AA2A,故有 P(B)=P(A:A2A3)=P(A:IAA:)P(A:IA)P(A:) =(1-品)(1-0)1-2）=80 另解，按题意 B=A:UA,A:UA:A:A,. 而A1,AA2,AA2A,是两两互不相容的事件，故有 P(B)=P(A1)+P(A1A2)+P(A,A2A). 已知P(A)=2,P(A:A:)=0P(AAA:)=,即有 P(AA)=P(A1A)P(A)=0(1-）=2 P(AA:A.)=P(A,IA:A:)P(A:A)P(A) =(1-品)(1-）品 故得 P-古+名+品-器 PB)=1-88-品 (三)全概率公式和贝叶斯公式 下面建立两个用来计算概率的重要公式.先介绍样本空间的划分的定义。 定义设S为试验E的样本空间，B,B2,·,Bn为E的一组事件.若 (i)B,B,=0,≠j,i,j=1,2,.,n; (i)BUB2U.UB=S, 则称B,B,B。为样本空间S的一个划分. 若B,B,B,是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B, B2,B。中必有一个且仅有一个发生. 例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间为S={1,2,3, 4,5,6}.E的一组事件B,=(1,2,3},B,={4,5),B,={6}是S的一个划分.而事
+18✉ 第一章概率论的基本概念 件组C={1,2,3},C2={3,4},C={5,6}不是S的划分. 定理设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B,B,B。为S的 个划分，且P(B)>0(i=1,2,.,n),则 P(A)=P(A|B,)P(B,)+P(A|B2)P(B,)+.+ P(AIB)P(B). (5.6) (5.6)式称为全概率公式. 在很多实际问题中P(A)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分B:, B,B。,且P(B:)和P(AB,)或为已知，或容易求得，那么就可以根据(5.6) 式求出P(A). 证因为 A=AS=A(B]UB:U.UB,)=AB,UAB:U.UAB., 由假设P(B,)>0(i=1,2,.,n),且(AB)(AB,)=0,i≠j,i,j=1,2,.,n得 到 P(A)=P(AB)+P(AB:)+.+P(AB.) =P(AIB)P(B)+P(AIB2 P(B2 )+. +P(AB,)P(B.). 另一个重要公式是下述的贝叶斯公式. 定理设试验E的样本空间为S.A为E的事件，B,B,.,B。为S的一 个划分，且P(A)>0,P(B)>0(i=1,2,n),则 P(B,I A)=- (AB,)P(B）,i=1,2,n (5.7) >P(A!B)P(B,) 1 (5.7)式称为贝叶斯(Bayes)公式0. 证由条件概率的定义及全概率公式即得 P(B.A)-P(BA)-P(A1 B)P(B)=1.2. P(A) ∑P(AIB,)P(B,) 特别在(5.6)式，(5.7)式中取n=2,并将B记为B,此时B2就是B,那么， 全概率公式和贝叶斯公式分别成为 P(A)=P(A I B)P(B)+P(A I B)P(B), (5.8) P(A B)P(B) P(BAP(A)P(A B)P(B)+P(AI B)P(B)' P(A)】 (5.9) 这两个公式是常用的， ①在全概率公式和贝叶斯公式中，要求B,B,B,是S的一个划分，将这一条件改为“B,B, ⑦，i≠，j=1,2,.,m,且PiB:UB:U.UB,)=1”两个公式仍然成立
§5条件概率 ·19· 例5某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以 往的记录有以下的数据； 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.(1)在仓库中随 机地取一只元件，求它是次品的概率：(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知 取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分 别是多少.试求这些概率. 解设A表示“取到的是一只次品”，B,(i=1,2,3)表示“所取到的产品是 由第i家工厂提供的”.易知，B,B,B是样本空间S的一个划分，且有 P(B)=0.15,P(B2)=0.80,P(B,)=0.05, P(A1B)=0.02,P(AB2)=0.01,P(A1B2)=0.03. (1)由全概率公式 P(A)=P(AB:)P(B)+P(AB:P(B:)+P(AB3)P(B3 =0.0125. (2)由贝叶斯公式 P(B,1A)=PAB)PB)-0.02X9:15=0.24. P(A) 0.0125 P(B,A)=0.64,P(BA)=0.12. 以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大. 例6据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%， 在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸者患肺癌的概 率是多少？ 解以C记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，按题意P(C)=0.001, P(A)=0.20,P(C1A)=0.004.需要求条件概率P(C1A).由全概率公式有 P(C)=P(CIA)P(A)+P(CIA)P(A). 将数据代入，得 0.001=0.004×0.20+P(C1不)P(A) =0.004×0.20+P(CA)×0.80, P(C1A)=0.00025. 例7对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为
420￥ 第一章概率论的基本概念 98%,而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器 调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整 良好的概率是多少？ 解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”.已知P(AB)= 0.98,P(AB)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,所需求的概率为P(B|A).由 贝叶斯公式 P(AB)P(B) P(BIA)-P(AIB)P(B)+P(A B)P(B) 0.98×0.95 =0.98×0.95+0.55x0.05=0.97. 这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97. 这里，概率0.95是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率.而在得到信息（即 生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率（即0.97）叫做后验 概率.有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。 例8根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以 A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 P(AIC)=0.95,P(AC)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有 癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005,试求P(CA). 解已知P(AC)=0.95,P(A|C)=1-P(A1C)=0.05,P(C)=0.005, P(C)=0.995,由贝叶斯公式 P(CIA)= P(A C)P(C) P(AIC)P(C)+P(AC)P(C.087. 本题的结果表明，虽然P(AC)=0.95,P(AC)=0.95,这两个概率都比较高. 但若将此试验用于普查，则有P(C1A)=0.087,亦即其正确性只有8.7%（平均 1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症).如果不注意到这一 点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(AC)和P(C1A)混淆了会造成不 良的后果. §6独立性 设A,B是试验E的两事件，若P(A)>0,可以定义P(BA).一般，A的发 生对B发生的概率是有影响的，这时P(B|A)≠P(B),只有在这种影响不存在 时才会有P(BA)=P(B),这时有 P(AB)=P(BA)P(A)=P(A)P(B). 例1设试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”.设事件A
§6独立性 ·21· 为“甲币出现H”,事件B为“乙币出现H”.E的样本空间为 S=(HH,HT,TH,TT). 由(4.1)式得 PA)=子=2，P(B)=子=号， P(B1A)=2,P(AB)= 在这里我们看到P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B).事实上，由题意，显 然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的. 口 定义设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), (6.1) 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立. 容易知道，若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能 同时成立， 定理一设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B引A)= P(B).反之亦然. 定理的正确性是显然的。 定理二若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立： A与B,A与B,A与B. 证因为A=A(BUB)=ABUAB,得 P(A)=P(AB U AB)=P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(AB), P(AB)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B). 因此A与B相互独立·由此可立即推出A与B相互独立·再由B=B,又推出 A与B相互独立. 下面我们将独立性的概念推广到三个事件的情况. 定义设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), (6.2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立. 一般，设A,A2,A,是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3 个，·，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A, A2,.,A。相互独立