·2· 第一章概率论的基本概念 个试验可以在相同的条件下重复地进行.又如试验E6,我们知道灯泡的寿命（以 小时计)≥0，但在测试之前不能确定它的寿命有多长.这一试验也可以在相同 的条件下重复地进行，概括起来，这些试验具有以下的特点 1°可以在相同的条件下重复地进行； 2°每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 结果； 3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验. 本书中以后提到的试验都是指随机试验。 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的. §2样本空间、随机事件 (一)样本空间 对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可 能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称 为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 下面写出§1中试验E4(k=1,2,.,7)的样本空间S: S:{H,T}; S::(HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT); S1:{0,1,2,3}: S:{1,2,3,4,5,6}: S5:{0,1,2,3,.}; S6:{tlt≥0}； S,:{(x,y)川T≤x≤y≤T,这里x表示最低温度（℃），y表示最高温度 (℃).并设这一地区的温度不会小于T。,也不会大于T. (二)随机事件 在实际中，当进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所 组成的集合.例如，若规定某种灯泡的寿命（小时）小于500为次品，则在E。中我 们关心灯泡的寿命是否有t≥500.满足这一条件的样本点组成S。的一个子集 A={tt≥500}.我们称A为试验E6的一个随机事件.显然，当且仅当子集A中 的一个样本点出现时，有t≥500
§2样本空间、随机事件 ·3· 一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件①.在 每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生 特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.例如，试验E,有两个基 本事件{H}和{T;试验E,有6个基本事件1)，{2，{6. 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是 发生的，S称为必然事件.空集必不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集， 它在每次试验中都不发生，必称为不可能事件。 下面举几个事件的例子 例1在E,中事件A:“第一次出现的是H”,即 A,=(HHH,HHT,HTH,HTT). 事件A2:“三次出现同一面”，即 A:=(HHH,TTT). 在E6中，事件A:“寿命小于1000小时”，即 Ag={t0≤t<1000}. 在E,中，事件A:“最高温度与最低温度相差10摄氏度”，即 A,={(x,y)ly-x=10,T≤x≤y≤T. ◇ (三)事件间的关系与事件的运算 事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中集合 之间的关系和集合运算来处理.下面给出这些关系和运算在概率论中的提法.并 根据“事件发生”的含义，给出它们在概率论中的含义. 设试验E的样本空间为S,而A,B,A(k=1,2,.)是S的子集。 1°若ACB,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必导致事件B 发生 若ACB且BCA,即A=B,则称事件A与事件B相等. 2°事件AUB={xx∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件.当且仅 当A,B中至少有一个发生时，事件AUB发生. 类似地，称UA。为n个事件A1,A2,A,的和事件；称UA.为可列 个事件A1,A2,.的和事件. 3°事件A∩B={x|x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件.当且仅 ①严格地说，事件是指S中的满足某些条件的子集。当S是由有限个元素或由可列无限个元素组 成时，每个子集都可作为一个事件。着S是由不可列无限个元素组成时，某子集必须排除在外 幸而 这种不可容许的子集在实际应用中儿平不会逼到，今后：每当我们讲列一个事件时都是假定它是容许考 虑的那种子集，读者如有兴趣可参考较详细的教材
·4 第一章概率论的基本概念 当A,B同时发生时，事件A∩B发生，A∩B也记作AB 类似地，称∩A:为n个事件A,A2,A,的积事件：称∩A为可列 个事件A1,A2,.的积事件 4°事件A一B={x|x∈A且x￠B)称为事件A与事件B的差事件.当且仅 当A发生、B不发生时事件A一B发生 5°若A∩B=⑦，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的.这指的是事件 A与事件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的. 6°若AUB=S且A∩B=,则称事件A与事件B互为逆事件.又称事件 A与事件B互为对立事件.这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发 生，且仅有一个发生.A的对立事件记为A.A=S-A. 用图1一1一图1一6可直观地表示以上事件之间的关系与运算.例如，在图 1一1中长方形表示样本空间S,圆A与圆B分别表示事件A与事件B,事件B 包含事件A.又如在图1一2中长方形表示样本空间S,圆A与圆B分别表示事 件A与事件B,而阴影部分表示和事件AUB. ACB AUB 图1-1 图1-2 图1-3 ）B AnB= BUB=S,BnB= 图1-4 图1-5 图1-6 在进行事件运算时，经常要用到下述定律.设A,B,C为事件，则有 交换律：AUB=BUA;A∩B=B∩A. 结合律：AU(BUC)=(AUB)UC; An(B∩C)=(A∩B)∩C
§3频率与概率 5 分配律：AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC): A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C). 德摩根律：AUB=A∩B;A∩B=AUB 例2在例1中有 A UA:=(HHH,HHT,HTH,HTT,TTT), A,∩A2={HHH}, A:-A=(TTT), A UA=(THT,TTH,THH). 例3如图1一7所示的电路中，以A表示“信 号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示事件：继电器 接点I,I,I闭合，那么容易知道BCCA,BDCA, BCUBD=A,而BA=⑦，即事件B与事件A互不 相容.又，BUC=B∩C.(左边表示事件“I,Ⅱ至少 有一个闭合”的逆事件，也就是I,Ⅱ都不闭合， 图1-7 B,C同时发生·) ◇ §3频率与概率 对于一个事件（除必然事件和不可能事件外）来说，它在一次试验中可能发 生，也可能不发生.我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竞 有多大.例如，为了确定水坝的高度，就要知道河流在造水坝地段每年最大洪水 达到某一高度这一事件发生的可能性大小.我们希望找到一个合适的数来表征 事件在一次试验中发生的可能性大小.为此，首先引入频率，它描述了事件发生 的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数一概率。 (一)频率 定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的 次数称为事件A发生的频数.比值A/n称为事件A发生的频率，并记成 f(A). 由定义，易见频率具有下述基本性质： 1°0≤f.(A)≤1： 2°f.(S)=1: 3°若A,A2,A是两两互不相容的事件，则 f,(AUA2U.UA)=fn(A1)+f,(Az)+.+f(A). 由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示A发
6 第一章概率论的基本概念 生的频繁程度.频率大，事件A发生就频繁，这意味着事件A在一次试验中发生 的可能性就大.反之亦然，因而，直观的想法是用频率来表示事件A在一次试 验中发生的可能性的大小.但是否可行，先看下面的例子 例1考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各 做10遍.得到数据如表1一1所示（其中nH表示H发生的频数，f,(H)表示H 发生的频率) 表1-1 n=5 n=50 n✉500 实验序号 ∫.(H) f.(H) f.(H) 1 2 0.4 22 0.44 251 0.502 2 3 0.6 25 0.50 249 0.498 3 1 0.2 21 0.42 256 0.512 5 1.0 25 0.50 253 0.506 0.2 0.48 251 0.502 6 0.4 21 0.42 246 0.492 2 0.8 18 0.36 244 0.488 0.4 24 0.48 258 0.516 9 0.6 3 0.54 262 0.524 10 3 0.6 9 0.62 247 0.494 这种试验历史上有人做过，得到如表1一2所示的数据. 表1一2 实验者 f.(H) 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019 0.5016 K·皮尔逊 24000 12012 0.5005 从上述数据可以看出：抛硬币次数n较小时，频率∫(H)在0与1之间随机 波动，其幅度较大，但随着n增大，频率f.(H)呈现出稳定性.即当n逐渐增大 时∫.(H)总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5. 例2考察英语中特定字母出现的频率.当观察字母的个数”（试验的次