§3频率与概率 .7. 数)较小时，频率有较大幅度的随机波动.但当增大时，频率呈现出稳定性.表 1一3就是一份英文字母频率的统计表①： 表1-3 字母 频率 字母 颍率 字母 频率 0.1268 0.0394 P 0.0186 T 0.0978 0 0.0389 B 0.0156 0.0788 0.0280 V 0.0102 0 0.0776 C 0.0268 K 0.0060 0.0707 F 0.0256 0.0016 0.0706 M 0.0244 0.0010 0.0634 0.0214 0.0009 R 0.0594 0.0202 0.0006 0.0573 G 0.0187 大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率∫，(A)呈现出稳定 性，逐渐稳定于某个常数，这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性·我们 让试验重复大量次数，计算频率∫，(A),以它来表征事件A发生可能性的大小 是合适的 但是，在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件 的频率，用以表征事件发生可能性的大小.同时，为了理论研究的需要，我们从频 率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下表征事件发生可能性大小的概率 的定义 (二)概率 定义设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋子一 个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件： 1°非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0： 2°规范性：对于必然事件S,有P(S)=1: 3°可列可加性：设A,A2,.是两两互不相容的事件，即对于A,A,=必， ≠j,ij=1,2,.,有 ①这是由Dewey,G,统计了约438023个字母得到的.引自Relative Frequeney of English Spellings (Teachers College Press.Columbin University.New York.197
。8 第一章概率论的基本概念 P(A1UA2U.)=P(A1）+P(A2)+. (3.1) 在第五章中将证明，当n→∞时频率了.(A)在一定意义下接近于概率 P(A).基于这一事实，我们就有理由将概率P(A)用来表征事件A在一次试验 中发生的可能性的大小. 由概率的定义，可以推得概率的一些重要性质 性质iP(⑦)=0. 证令A.=⑦(n=1,2,.),则UA,=8,且AA,=8,≠j,ij=1,2, .由概率的可列可加性(3.1)得 P()=P(gA.)-2PA.)=2P(. 由概率的非负性知，P(财)≥0，故由上式知P()=0. 性质ⅱ（有限可加性）若A,A2,·,A.是两两互不相容的事件，则有 P(A1UAzU.UA.)=P(A1)+P(A2)+.+P(A) (3.2) (3.2)式称为概率的有限可加性. 证令A+1=A+2=.=0,即有A,A,=0,i≠j,i,j=1,2,.由(3.1) 式得 P(AUA2U.UA,) -P(A.)-P(A) =P(AA)+0=P(A1)+P(A2)+.+P(A.). (3.2)式得证. 性质i设A,B是两个事件，若ACB,则有 P(B-A)=P(B)-P(A); (3.3) P(B)≥P(A) (3.4) 证由ACB知B=AU(B-A)(参见图1-1)，且A(B-A)=0,再由概 率的有限可加性(3.2)，得 P(B)=P(A)+P(B-A), (3.3)得证；又由概率的非负性1°，P(B-A)≥0知 P(B)≥P(A). 性质v对于任一事件A, P(A)≤1. 证因ACS,由性质i得 P(A)≤P(S)=1. ▣
§4等可能概型（古典概型） 、9 性质v(逆事件的概率)对于任一事件A,有 P(A)=1-P(A). 证因AUA=S,且AA=0,由(3.2)式，得 1=P(S)=P(AUA)=P(A)+P(A). 性质v得证. ◇ 性质i(加法公式)对于任意两事件A,B有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB). (3.5) 证因AUB=AU(B-AB)(参见图1-2)，且A(B-AB)=O,ABCB, 故由(3.2)式及(3.3)式得 P(AU B)=P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB). ◇ (3.5)式还能推广到多个事件的情况.例如，设A:,A2,A,为任意三个事 件，则有 P(A:UA:UA)=P(A:)+P(A2)+P(A3)-P(A:A:) -P(AA,)-P(A:A3)+P(A:A:A,). (3.6) 一般，对于任意n个事件A1,A2,An,可以用归纳法证得 P(A U A:U.UA)-P(A)-P(AA) 3PAMA)++(-rPAA.A + (3.7) §4等可能概型（古典概型） §1中所说的试验E,E,它们具有两个共同的特点： 1°试验的样本空间只包含有限个元素； 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有以上两个特点的试验是大量存在的.这种试验称为等可能概型.它在概 率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型.等可能概型的一些概 念具有直观、容易理解的特点，有着广泛的应用. 下面我们来讨论等可能概型中事件概率的计算公式. 设试验的样本空间为S={e,e2,.,e,.由于在试验中每个基本事件发生 的可能性相同，即有 P({e})=P({ea})=.=P({e}). 又由于基本事件是两两互不相容的.于是
·10 第一章概率论的基本概念 1=P(s)=P({e}U{e}U.U{e}) =P({e})+P({e2}) +.+P({en})=nP({e,}), P(e)=a,i=1,2,.,m 若事件A包含个基本事件，即A={e}U{e,}U.U{e,这里i, i2,i是1,2，.，n中某k个不同的数.则有 P)=之P(,)=冬-号童第辈奔斋餐 (4.1) (4.1)式就是等可能概型中事件A的概率的计算公式①. 例1将一枚硬币抛掷三次。(1)设事件A:为“恰有一次出现正面”，求 P(A),(2)设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2) 解(1)我们考虑§1中E2的样本空间： S:=(HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT). A,=(HTT,THT,TTH). S:中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.故 由(4.1)式，得 PA,)=是 (2)由于A2={TTT},于是 PA,)=1-Pa)=1-g- 口 当样本空间的元素较多时，我们一般不再将S中的元素一一列出，而只需 分别求出S中与A中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由(4.1)式即 可求出A的概率。 例2一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球.从袋中取球两次，每 次随机地取一只.考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回 袋中，搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回抽样.(b)第一次取一球不放回 袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就 上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率，(2)取到的两只球颜色相 同的概率：(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解(a)放回抽样的情况. ①易知由(4.1)所确定的概率满足非负性，规范性和有限可加性.但此时由于S中只含有限个子 集（只有C十C十.十C=2”个子集）.因而若在S中取可列无限个两两互不 相容的事件A,A2,A, ,则其中必包含无限多个不可能事件，即知可列可加性与有限可加性是等价
§4等可能概型（古典概型） ·11· 以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红 球”，“取到的两只球中至少有一只是白球”.易知“取到两只颜色相同的球”这 事件即为AUB,而C=B. 在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅 包含有限个元素.且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而可利用 (4.1)式来计算事件的概率. 第一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取.由组合 法的乘法原理，共有6×6种取法.即样本空间中元素总数为6×6.对于事件A 而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法 原理共有4×4种取法，即A中包含4×4个元素.同理，B中包含2×2个元素， 于是 PA-淡活告 PB)=是- 由于AB=,得 PAUB)=P(A)+P(B)=号 P(C)=P(B)=1-P(B)=8 (b)不放回抽样的情况. 由读者自己完成. 0 例3将n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去，试求每个盒子至多有一 只球的概率（设盒子的容量不限）. 解将n只球放入N个盒子中去，每一种放法是一基本事件.易知，这是古典 概率问题.因每一只球都可以放人N个盒子中的任一个盒子，故共有NX NX.XN=WN种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有N(N-1)[N (n一1)]种不同放法.因而所求的概率为 p=NN-N-n+D=袋 有许多问题和本例具有相同的数学模型.例如，假设每人的生日在一年365 天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，那么随机选取n(n≤365)个人，他 们的生日各不相同的概率为 365·364·.·(365-n+1) 365m 因而，”个人中至少有两人生日相同的概率为