定理的结论被称为“ Newton-Leibniz公式”,公式中的F(b)-F(a) 般记为F(x),也就是 ∫f(xkx=F(x Newton- Leibniz公式将“求曲线的切线斜率”和“求曲线所围面 积”这两件看上去风马牛不相及的事和谐地统一起来,是高等数学乃 至整个数学领域中最优美的结论之一。它以非常简单的形式,深刻地 揭示了微分与积分的联系,同时还“指点迷津”,给出了利用原函数 (即不定积分)便捷地计算定积分的途径
定理的结论被称为“Newton-Leibniz 公式”，公式中的 F(b) − F(a) 一般记为 b a F(x) ，也就是 ( )d ( ) b b a a f x x F x = 。 Newton-Leibniz 公式将“求曲线的切线斜率”和“求曲线所围面 积”这两件看上去风马牛不相及的事和谐地统一起来，是高等数学乃 至整个数学领域中最优美的结论之一。它以非常简单的形式，深刻地 揭示了微分与积分的联系，同时还“指点迷津”，给出了利用原函数 （即不定积分）便捷地计算定积分的途径
例733计算xdx 解由∫x=1x2+C,取F(x)为x,由 Newton-Leibniz公式, 0 这正是我们在本章§1中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积
例 7.3.3 计算 1 2 0 x xd 。 解 由 2 3 1 d 3 x x x C = + ，取 F(x)为 1 3 3 x ，由 Newton-Leibniz 公式， 1 2 0 x xd 3 1 0 3 1 3 1 1 0 3 = x = − = 。 这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积
例733计算 解由∫ +C,取F(x)为x3,由 Newton- Leibniz公式, 0 这正是我们在本章§1中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积 例734求 sin xdx 解因为-cosx是sinx的一个原函数,所以, Jo sin xdx=(cos x)lo=-COs T+cos0=2 例7.3.4说明y=sinx的一拱的面积恰为整数2,可算是一个出人 意料的有趣结果
例 7.3.4 求 π 0 sin dx x 。 解 因为- cos x 是sin x 的一个原函数，所以， π 0 sin dx x π 0 = − = − + = ( cos ) cos x π cos0 2 。 例 7.3.4 说明 y = sin x的一拱的面积恰为整数 2，可算是一个出人 意料的有趣结果。 例 7.3.3 计算 1 2 0 x xd 。 解 由 2 3 1 d 3 x x x C = + ，取 F(x)为 1 3 3 x ，由 Newton-Leibniz 公式， 1 2 0 x xd 3 1 0 3 1 3 1 1 0 3 = x = − = 。 这正是我们在本章§1 中用无限求和的办法求出的那个曲边三角形的 面积
例7.3.5计算极限im n+1n+2 解将和式改写成 nn(1+11+ n 这相当于在]中对函数(x)=1+x做Ax=元的等距分割后,在小区间 x-,x上将5取为x,(=12,…,n)的和式∑f(5)Ax。于是, lim =im n+1n+2 2 dx n(1+x)0=ln2, 1+x 这就是我们在例2.4.9所得到的结果
例 7.3.5 计算极限 + + + + n→ n + n 2n 1 2 1 1 1 lim 。 解 将和式改写成 1 1 1 2 1 n + n 2n + + + + + + + + + + = n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ， 这相当于在[0,1]中对函数 f x x ( ) = + 1 1 做x n i 1 的等距分割后，在小区间 [x , x ] i−1 i 上将 i 取为 xi（i = 1,2, , n）的和式 1 ( ) n i i i f x = 。于是, + + + + n→ n + n 2n 1 2 1 1 1 lim 0 1 1 lim 1 n i i i x → = = + 1 1 0 0 d ln (1 ) ln 2 1 x x x = = + = + ， 这就是我们在例 2.4.9 所得到的结果
定积分的分部积分法和换元积分法 分部积分法 由不定积分的分部积分公式 uv'dx=uv-I vu'dx 可立即推出定积分的分部积分公式 定理7.3.3设v(x),v(x)在区间[ab上有连续导数,则 Su(x)v(x)dx=(u(x)v(x)i-5,v(xu'(x)dx 上式也能写成下列形式 u(x)dv(x =u(xv(x v(x)du(x)
定积分的分部积分法和换元积分法 分部积分法 由不定积分的分部积分公式 uv x uv vu x d d = − 可立即推出定积分的分部积分公式。 定理 7.3.3 设u(x), v(x)在区间[a,b]上有连续导数，则 ) ( )d [ ( ) )] ) ( )d b b b a a a u x v x x u x v x v x u x x ( = ( − ( 。 上式也能写成下列形式 )d ( ) [ ( ) )] )d ( ) b b b a a a u x v x u x v x v x u x ( = ( − (