注定理7.3.1具有非常重要的意义。 首先,它扩展了函数的形式。∫(0与我们所熟悉的初等函数形 式迥异,但它确实是一种函数的表示形式,它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚,不再囿于这狭窄的范围。 其次,它说明了当fx)在b上连续时,∫,/(O是f(x)在a 上的一个原函数,这就是我们在第六章§3所断言的:任何连续函数 必存在原函数。如∫d是的一个原函数,∫ed是e-的 个原函数,等等。 另外它还给出了对「(d这种形式的函数求导(通常称为“对积 分上限求导”)的一个法则:(r(dr)=f
注 定理 7.3.1 具有非常重要的意义。 首先，它扩展了函数的形式。 ( )d x a f t t 与我们所熟悉的初等函数形 式迥异，但它确实是一种函数的表示形式，它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚，不再囿于这狭窄的范围。 其次，它说明了当 f (x)在[a, b]上连续时， ( )d x a f t t 正是 f (x)在[a, b] 上的一个原函数，这就是我们在第六章§3 所断言的：任何连续函数 必存在原函数。如 sin d x a t t t 是 sin x x 的一个原函数， 2 e d x t a t − 是e −x 2 的一 个原函数，等等。 另外它还给出了对 ( )d x a f t t 这种形式的函数求导（通常称为“对积 分上限求导”）的一个法则：( ) ( )d ( ) x a f t t f x =
例73.1计算F(x)=Jsm√d的导数 解记u 则 F(x)=G(u)=sin tdt 由复合函数求导法则, F(x)=G(u),(x)=/d d SIn N x=2 xsin x
例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x t t = 的导数。 解 记 u = x 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x G u t t = = ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x G u u x t t x x x u u = = = =
例73.1计算F(x)=Jsm√d的导数 解记u 则 F(x)=G(u)=sin tdt 由复合函数求导法则, F(x)=G(u),(x)=/d d SIn N x=2 xsin x。 sin√tdt 例7.3.2求极限lim 解由于∫()dx=0,因此这个极限是。待定型。由 L'Hospital法 5 sin√tdt sin√tdt 0 2x sin x 2 lim lin lim x→0 x→0
例 7.3.2 求极限 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x 。 解 由于 ( )d 0 a a f x x = ，因此这个极限是 0 0 待定型。由 L'Hospital 法 则， 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x 2 0 3 0 sin d lim ( ) x x t t → x = = → lim sin x x x 0 x 2 2 3 = 2 3 。 例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x t t = 的导数。 解 记 u = x 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x G u t t = = ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x G u u x t t x x x u u = = = =
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论—微积分基本定理。 定理73.2(微积分基本定理)设f(x)在[a,上连续,F(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则成立 . f( dx= F(b)-F(a)
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f (x)在[a, b]上连续，F(x) 是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数，则成立( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = −
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论—微积分基本定理。 定理73.2(微积分基本定理)设f(x)在[a,上连续,F(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则成立 . f( dx= F(b)-F(a) 证设F(x)是f(x)在a,b]上的任一个原函数,而由定理7.3.1, ∫f(or也是f(x)在b上的一个原函数,因而两者至多相差一个常数 f(tdt= F(x)+C, 令x=a,即得到C=-F(a),所以 f(tdt=F(x)-F(a) 再令x=b,便得到 ∫f(xdx=-∫)dr=F(b)-F(a)
证 设 F(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上的任一个原函数，而由定理 7.3.1， ( )d x a f t t 也是 f (x)在[a, b]上的一个原函数，因而两者至多相差一个常数。 记 ( )d ( ) x a f t t F x C = + ， 令 x = a ，即得到C = −F(a)，所以( )d ( ) ( ) x a f t t F x F a = − 。 再令 x = b，便得到 ( )d ( )d ( ) ( ) b b a a f x x f t t F b F a = = − 。 定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f (x)在[a, b]上连续，F(x) 是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数，则成立( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = −