$2 #插值型求积法插值型求积公式口基本思想用被积函数f(x)的插值多项式P.(x)代替f(x)作积分。即: 1° f(x)dx ~ f' P,(x)dx口公式已知求积节点a≤x<x<...<x,≤b及其函数值f(x),则f(x)的Lagrange插值多项式为P,(x)=Zf(xx) (x)k=lx-xXT为Lagrange插值基函数其中l(x)= Xk-XiitkI= J" f(x)dx ~ [' P,(x)dx=F"ZF(xx)(x)dxk=0-ZF1(x)dxf(x) -ZAf(x)其中 A='1(x)dx-11K=0k=0
0 1 ( ), ( ) Lagrange n i a x x x b f x f x 已知求积节点 及其函数值 则 的 插值多项式为 0 ( ) ( ) ( ) n n k k k P x f x l x 1 ( ) Lagrange n i k i k i i k x x l x x x 其中 为 插值基函数. ( ) ( ) ( ) n 用被积函数f x P x f x 的插值多项式 代替 作积分。 ( ) b a I f x dx ( ) b n a P x dx 0 ( ) ( ) n b k k a k f x l x dx ( ) ( ) 0 n b k k a k l x dx f x 0 ( ) n k k k A f x ( ) . b k k a A l x dx 其中 公式 ( ) ( ) b b n a a f x dx P x dx 即： 基本思想 §2 插值型求积法 一 插值型求积公式 -11-
I =[" f(x)dx ~ZA f(xk)即：k-其中：x,为求积节点(插值节点),A,="l,(x)dx求积系数。称上述由插值基函数确定求积系数的公式为插值型求积公式口求积余项（方法误差）R, = I -I,= (~ f(x)dx-{ P,(x)dxJ'l(x)- P,(x)dx =F"(x-x)dx(n+1)k=0口代数精度(P107-Th2定理2具有n个求积节点的数值求积公式I = [' f(x)dx ~ZAx(x)≤ Ihk=1是插值型求积公式的充要条件是该公式至少具有n一1次代数精度
即： ( ) b a I f x dx 0 ( ) n k k k A f x ( ) b k k k a x A l x dx 其中： 为求积节点 (插值节点), 求积系数。 称上述由插值基函数确定求积系数的公式为插值型求积公式。 求积余项( ) 方法误差 R I I n n [ ( ) ( )] b n a f x P x dx ( 1) 0 ( ) ( ) ( 1)! n n b k a k f x x dx n ( ) b a f x dx ( ) b n a P x dx 代数精度(P107 h -T 2) -12- 1 ( ) ( ) n b k k n a k I f x dx A f x I 定理2 具有n个求积节点的数值求积公式 是插值型求积公式的充要条件是该公式至少具有n 1次代数精度
求积节点等距分布的插值型求积公式二 Newton-Cotes公式口公式推导考虑插值型求积公式I = " f(x)dx ~ f' P,(x)dx'之F(x )(x)dx -2("1 (x)dx· f(x)k=0其中： P,(x)=≥f(xx)ls(x)为f(x)的Lagrange插值多项式,k=0XA =I'(x)dx- 'IIdxXk-xj=0j+k下面考虑插值节点等距时A,的计算：-13-
二 Newton-Cotes公式 求积节点等距分布的插值型求积公式. ( ) b a I f x dx ( ) b k k a A l x dx 0 n b j a j k j j k x x dx x x 考虑插值型求积公式 ( ) b n a P x dx 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Lagrange n n k k k 其中：P x f x l x f x 为 的 插值多项式， 0 ( ) ( ) n b k k a k f x l x dx 0 ( ) ( ) n b k k a k l x dx f x 下面考虑插值节点等距时Ak的计算： 公式推导 -13-