3推广: 1()=" (x)dx=lim(5)Axx, 其中=maxAx,, e[x-1x]2-00<kSnk-f. 1()= J' f(x)dx~ZAF(x) ≤1,k=0其中,x：求积节点；A：求积系数，仅与(x)有关，与f(x)无关。求积余项: R,=I(J)-I,=J' f(x)dx-ZAsf(x)方法误差k=0dx的近似值。如，求I()：1f(0)+ f(1)=0.75必方法1:I(f21f(0)+4 f(0.5) + f(1)欧方法2：I(f0.78333..61元1精确值：双I(f):=0.78539815...dx=arctanx4-6-
{ } ( ) k k k x A x f x 其 中, ：求积节点； ：求积系数，仅与 有关，与 无关。 3 推广 1 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) max , [ , ]. n b k k k k k k a k n k I f f x dx f x x x x ，其中 0 ( ) ( ) ( ) n b k k a k n I f f x dx A f x I ( ) 求积余项：R I f I n n 0 ( ) ( ) n b k k a k f x dx A f x 1 2 0 1 ( ) 1 I f dx x 如，求 的近似值。 方 法 1 ： 方 法 2 ： 1 2 0 1 (0) 4 (0.5) (1) ( ) 0.78333. 1 6 f f f I f dx x 1 2 0 1 (0) (1) ( ) 0.75 1 2 f f I f dx x 1 1 2 0 0 1 ( ) arctan 0.78539815. 1 4 I f dx x x 精确值： 方法误差 - 6 -
问题：不同的数值公式，计算结果不同，如何衡量公式的好坏？三代数精度1定义：若某个求积公式对所有次数≤m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成立，则称该公式具有m次代数精度。2定理：一个求积公式具有m次代数精度的充要条件是该公式对1,x,x2,,x"精确成立，而对xm+不精确成立。-7
三 代数精度 1 1 m m m 若某个求积公式对所有次数 的多项式都精确成立， 而至少对一个 次多项式不精确成立，则称该公式 次代 定义 有 ： 具 数精度。 2 1 1, , , , 2 m m m x x x x 一个求积公式具有 次代数精度的充要条件是该公式 定理： 对 精确成立，而对 不精确成立。 问题：不同的数值公式，计算结果不同，如何衡量公式的好坏？ -7-
例 验证; 第形公式 1-()会(b-0)()具有一次代数精度。解1dx=b-a=右f(x)=1时:左=F(x)= x时:左='xdx=(b2-α)a+b右=(b-左一右2I' x’dx = =(b3f(x)= x时:左=a+b右=(b-a)(左+右2：代数精度为"1"-8-
例1 验证：矩形公式 解 ( ) 1 : 1 b a f x dx b a 时 左 右 1 2 2 ( ) : ( ) 2 b a f x x xdx b a 时 左 ( ) 2 a b b a 右 2 2 3 3 1 ( ) : ( ) 3 b a f x x x dx b a 时 左 2 ( )( ) 2 a b b a 右 代数精度为" "1 。 左 右 左 右 ( ) ( ) ( ) 2 b a a b I f x dx b a f 具有一次代数精度。 -8-
例2试确定A，A，使数值积分公式I = J' f(x) ~ Af(a)+ A,J(b)的代数精度尽可能高。解令公式分别对f(x)=1,x时精确成立,则有b-a= A +A((b’ -a") = Aa+ A,b解之得: A,= A,==(b-a)EAA2: J' f(x) ~=(b-a)(f(a)+ f(b)代入得：-9.可以证明梯形公式具有1次代数精度
1 2 例2 , 试确定A A，使数值积分公式 解 令公式分别对 f x x ( ) 1, , 时精确成立 则有 1 2 b a A A 2 2 1 2 1 ( ) 2 b a A a A b 1 2 1 : ( ) 2 解之得 A A b a 1 ( ) ( )( ( ) ( )) 2 b a f x b a f a f b 代入得： 1 2 ( ) ( ) ( ) b a I f x A f a A f b 的代数精度尽可能高。 可以证明梯形公式具有1次代数精度。 -9-
例3试确定积分公式I =J' J(x) ~ AJ(x)+ A,F(x,)中的参数A，A,x，x，使其代数精度尽量高，并求代数精度。问题：该公式的代数精度最高可达多少？思考提示：1有几个待定参数？2可列几个方程？EV3答案：A =A=1, x =-x=3代数精度n=3.备注：使代数精度达到最高的数值求积公式称为Gauss公式s5中介绍）推广：有n个节点的求积公式，精度最高可达多少
思考 问题：该公式的代数精度最高可达多少？ 12 有几个待定参数？ 提示 可列 几 ： 个方程 ？ 例 3 试确 定积分 公 式 1 2 1 2 3 1 3 3. A A x x n ， ； 代数精度 答案： Gauss ( . 5 ) 使代数精度达到最高的数值求积公式， 称为 式 注 公 备 ： § 中介绍 1 1 1 2 2 1 I f x A f x A f x ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 中的参数A A x x , , , ，使其代数精度尽量高,并求代数精度。 推广：有n个节点的求积公式,精度最高可达多少 -10？-