王证:充分性显然,只诬要性 假设向量组ax1,ax2,…,an线性相关 存在一组不全为零实数 15429° 使kC1+k,a,+…+kcn=0 从第m个系数一个一个往前看则 第一个不为零的系数不可能是k1, 中(否则k,a1=0,与k1≠0,a1≠0矛盾) 不妨设第一不为零的系数为k≠01<i≤m),于是 c:= C1一 在e 上a由其前面向量线性表示 上页
证：充分性显然，只证必要性 0 , , , , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k 使 存在一组不全为零实数 假设向量组 线性相关 否则 ，与 ， 矛盾） 第一个不为零的系数不可能是 从第 个系数一个一个往前看，则 ( 0 0 0 , 1 1 1 1 1 k = k k m 由其前面向量线性表示。 不妨设第一不为零的系数 为 ，于是 i i i i i i i k k k k k i m 1 1 1 1 0(1 ) − − = − − −
定理4-3:向量组A:a1,a2,…,an线性无关, 而向量组B:a1,a2,…,an,月线性相关, 则向量g必能由向量组A线性表示,且表示式唯一, 证:由向量组a1,a2,…,an,性相关 则存在一组不全为零效数k,k .k.l 使ka1+k2a2+…+knCn+lB=0 王如果=0,则上式变为 k1+k2C2+…+knOm=0 上页
则向量 必能由向量组A线性表示，且表示式唯一. 定理4-3：向量组 1 2 : , , , A m 线性无关, 而向量组 1 2 : , , , , B m 线性相关, 证：由向量组1 , 2 , , m ，线性相关0 , , , , 1 1 2 2 1 2 k + k + + k + l = k k k l m m m 使 则存在一组不全为零实数 0 0, 1 1 + 2 2 + + = = k k km m l 如果 则上式变为
王而且系数,,”4不全为零, 这与a,a2,…,an线性无关矛盾, 故/≠0 下面再证惟一性。 设=k1ax1+k2a2+…+kna B=1q1+l2a2+…+Lnan 工工工 两式相减得 (k1-L1a1+(k2-l2)a2+…+(kn-Ln)an=0 因为a1,a2,…,an线性无关, 所以系数k1-1=0,k2-L2=0,…,kn-Ln=0
0. , , , 1 2 1 2 l k k k m m 故 这 与 ， ， ， 线性无关矛盾， 而且系数 不全为零， m m m m l l l k k k = + + + = + + + 1 1 2 2 设 1 1 2 2 下面再证惟一性。 （k1 − l 1 )1 + (k2 − l 2 )2 ++ (km − l m ) m = 0 两式相减得 0, 0, , 0, , , , 1 1 2 2 1 2 − = − = m − m = m k l k l k l 所以系数 因 为 线性无关