0O(xo问题f(x):xn!n=0泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)？不一定.1x±00如 f(x)=0,x=0在x=0点任意可导,且 f(")(0)=0 (n=0,1,2,)8为Zo.x"：f(x)的麦氏级数为n=0该级数在(一o0,+o0)内和函数s(x)=0. 可见除x=0外，f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f (x)? 不一定. (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(− ,+ )内和函数s(x) 0. 可见 除x = 0外, 在x = 0点任意可导, f (x)的麦氏级数处处不收敛于f (x)
二、函数展开成幂级数步骤1.直接展开法（泰勒级数法f(n) (0)(I)求a, =/n!8(0)Z(2)写出泰勒级数"，并求收敛半径Rn!n=0(3) 讨论 lim R,(x)= 0 .如 lim R,(x)= 0,V8.则级数在收敛区间内收敛于f(x)
1. 直接展开法(泰勒级数法) 步骤 ; ! (0) (1) ( ) n f a n 求 n = (3) lim ( ) = 0 . → Rn x n 讨 论 (2) 写出泰勒级数 并求收敛半径R. 如 lim ( ) = 0 , → Rn x n 二、函数展开成幂级数 则级数在收敛区间内收敛于f (x)
例将f(x)=e*展开成x的幂级数解 f(n)(x)=e*, f(n)(O)=1.(n = 0,1,2, ..)11ex1+x+2!n!其收敛半径R=+o0.es.n+1因泰勒公式的余项R,(x)=(n + 1)!(介于0,x之间)它满足不等式
例 解 ( ) , (n) x f x = e (0) 1. ( 0,1,2, ) f (n) = n = 其收敛半径 因泰勒公式的余项 , ( 1)! ( ) +1 + = n n x n e R x (ξ介于0, x之间) 它满足不等式 + + ++ x n + n x x ! 1 2! 1 1 2 ~ x e R = +∞
nt12StntiR,(<(n+ 1)!(n+1)!n+1对任一确定的xE R,e是确定的数,而(n +1)!180x是处处收敛的幂级数亡的一般项n!n=0所以在x E(-o0,+) 上恒有 lim R,(x)=0 。n-0于是，有展开公式er=1+x+x E(-00,+00)2!n!
R (x) n . ( 1)! 1 + + n x e n x 对任一确定的 x R, 是处处收敛的幂级数 的一般项. =0 ! n n n x x e 是确定的数, ( 1)! 1 + + n x n 而 所以在 上恒有 lim ( ) = 0 . → Rn x n 有展开公式 1 ( 1)! + + = n x n e 于是
例将f(x)=sinx展开成x的幂级数n元n元解f(n)(x)= sin(x+(O) = sin222f(2n+1)(0) =(-1)", (n = 0,1,2,...)(0) = 0, .2n+111x(-1)xY3!5!(2n +1)!其收敛半径 R= +o0.对x E(一80,+) 内任一点x,有
例 解 ), 2 ( ) sin( ( ) = + n f x x n , 2 (0) sin ( ) = n f n (0) 0, (2 ) = n f (0) ( 1) , (2n 1) n f = − + (n = 0,1,2, ) 其收敛半径 对 x(−,+) 内任一点x,有 R = +∞