《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数 12-04 第四节 函数展开成幂级数

(n+ 1)元sin2.n+1R,(x(n + 1)![n+1(n →80)0(n +1)!于是,有展开公式.2n+1sinx = x-+(-1)3!5!(2n +1)!x E(-00,+80)

( 1)! 1 +  + n x n R (x) n 于是,有展开公式 1 ( 1)! 2 ( 1) sin + +       + + = n x n n   (n → )

例 将f(x)=(1+x)~(α E R)展开成x的幂级数解 : f(")(x)=α(α-1).(α-n+1)(1+x)a-"n,f(n)(0) = α(α-1)...(α-n+1), (n = 0,1,2,..)α(α-1)α(α-1)...(α- n+1)1+ ox +2!n!aα-nn+1:. R=1mn+1n->80a1

例解 ( ) ( 1) ( 1)(1 ) , (n) n f x n x − = − − + +       (0) ( 1) ( 1), ( ) f = − − n + n     (n = 0,1,2,)    + − − + + + − + + n x n n x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1   2     nn n aa 1 lim + →   + 1 − = n n = 1  R = 1

所以(1+x)~的泰勒级数的收敛区间是(-1,1)在x=土1处,对不同的α，敛散性不同。为了避免讨论余项的极限,设在区间(-1,1)内(1+x)~的泰勒级数和函数s(x),即设α(α -1)..(α -n+ 1)s(x) =1+ ox +...+n!下面证明 s(x)=(1+x)~,x E(-1,1),由逐项求导得α(α-1)...(α - n +1)s'(x) = α +α(α-1)x+....-(n -1)!α-1(α-1)(α-n+1)21!(n -1)!

所以 (1+ x)  的泰勒级数的收敛区间是 在x = 1处, 对不同的 为了避免讨论余项的极限,设在区间  (1+ x) 的泰勒级数和函数s(x),即设    + − − + = + + + n x n n s x x ! ( 1) ( 1) ( ) 1     下面证明 ( ) = (1+ ) , (−1,1).  s x x x 由逐项求导得    + − − − +  = + − + + −1 ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) n x n n s x x       (−1,1). (−1,1)内 , 敛散性不同. . ( 1)! ( 1) ( 1) 1! 1 1 1       + − − − + + + − = + −    n x n n x    

(α-1) (α-n +1)s'(x)=α1!(n -1)!两边同乘以(1+x)后,注意右边方括号内的xn系数为(α-1)-.-(α-n+1) (α-1)..-(α-n)α(α-1)..-(α-n+1)n!n!(n-1)!.. (1 + x)s'(x)(α-1) ... (α - n +1)α(α-1)=α+αx+2!n!= αs(x)s'(x)α且 s(0) = 1.s(x)1+x

两边同乘以(1 + x)后,注意右边方括号内的 x n 系数为 (1+ x)s(x)    + − − + + + − = + + −1 2 2 2 ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) n x n n x x        =  s(x) , ( ) 1 ( ) s x x s x + =    且 s(0) = 1. . ( 1)! ( 1) ( 1) 1! 1 ( ) 1 1       + − − − + + + −  = + −    n x n n S x x    