26 第一章群 又若a~b,即a-b∈Z,则 b-a=-(a-b)∈Z, 从而有b一a: 最后，设a~b,bc,即a-b∈Z,b-c∈Z,则 a-c=(a-b)+(b-c)∈Z, 即a~c.故所给的关系是-个等价关系. 2)设a=c,b=d,即a-c∈Z,b-d∈Z,于是 (a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)∈Z, 从而a+b=c+d,即类的加法是Q/Z的一个代数运算. 结合律和交换律成立是显然的. 0又是零元，一a是a的负元 因此，Q/Z关于类的加法作成一个交换群. 又由于易知 中任二数之差都不是整数，故 1,,哥， 是Q/Z中互异的元素，因此Q/Z是个无限交换群. 关【28】设G是一个加群（即G的代数运算用“+”号表 示，但这里并不要求可换)，S为任一非空集合；又令M(S, G)是S到G的所有映射作成的集合，在其中定义加法如下： f+8:S-G,sHf(s)+g(s). 证明：M(S,G)对此加法作成一个群，并且当G是交换群 时，M(S,G)也是交换群， 证令：S-G,s0,即S中每个元素的象都是
§2.群的定义及简单性质 27 加群G中的零元，9∈M(S,G),因此M(S,G)非空. 设f,g∈M(S,G),则由题设规定的加法可知，对每个 s∈S,f(s)+g(s)是群G中椎一确定的元素，即f+g是S 到G的一个映射，因此 f+g∈M(S,G), 即所规定的加法是M(S,G)的一个代数运算. 又设f,g,h∈M(S,G),s∈S,则由于群G的法满 足结合律，故 [(f+g)+h](s)=(f+g)(s)+h(s) =[f(s)+g(s)]+h(s)=f(s)+[g(s)+h(s)] =fs)+(g+h)(s）=[f+(g+五)](s), 从而(f+g)+h=f+（g+h):又因为 (f+0)(s)=f(s)+8(s)=f(s)+0=f(s), 故f+8=f,即0是M(S,G)的零元 最后，设f∈M(S,G),令 一f:S+G,s-f(s), 其中-f(s)是G中元素f(s)的负元.显然-f∈M(S,G), 且易知 f+(-f)=(-f)+f=0, 即-f是f的负元. 因此，M(S,G)作成一个群. 又当G为交换群时，则对任意f,g∈M(S,G)和s∈ S,有 (f+g)(s)=f(s)+g(s)=g(s)+f(s)=(g+f)(s) 从而f+g=g+f,即M(S,G)也是交换群. 【29】证明：在群中只有单位元满足方程
28 第一章群 x2=x. 证设e是群G的单位元，则e显然满足所说的方程. 另外，设a∈G且a2=a,则有 a-la2=a-la,即a=e, 即只有e满足方程x2=x. 【30】证明：如果群G中每个元素都满足方程 x2=e,(e是G的单位元) 则G必是交换群， 证 证法I. 任取a,b∈G,由于(ab)2=a2=b2=e,故 ab=a(ab)2b=a(ab)(ab)b =a2bab2=ba, 从而ab=ba,所以G是交换群. 证法亚. 任取a∈G,由于a2=e,故a=a-1,即G中每个元素 的逆元都是自身，从而 ab=（ab)-上=b-1a-1=ba, 即G为交换群. 【31】设S是-一个有限半群.证明：如果S的乘法满足 两个消去律，则S作成一个群。 证设S包含n个元煮，且令 S=a1,a2,…,am}. 任取a:,a,∈S(i,j=重，2，…，n),下证方程a:x=a;在S 中有解.由于 S'=iaial,aiaz,..,aianS, 而S中消去律成立，故S中的n个元素是互异的，从而S
S2.群的定义及简单性质 29 =S.但是a,∈S,故a,∈S'.从而存在ak(1≤≤n)使 aiak=a,,即a,x=a;在S中有解. 同理可证方程ya:=a,在S中也有解. 因此，S作成一个群. 【32】设G是一个半群.证明：G是一个群的充要条 件是，对G中每个元素a,在G中都有惟一元素a'使对G 中任意元素b,有 a'(ab)=6=(ba)a'. (1)） 证证法1. 若G是群，取a'=a~1,条件(1)当然成立. 反之，任取a∈G,侧由(1)得知，存在惟一元素a'∈ G,对G中每个元素x都有 (aa)x=a'(ax)=x. 即a'a是G的左单位元.令a'a=e. 再任取b∈G,同样由(1)得知，存在惟一的b'∈G有 a'a=[(a'a)b]b'=(a'a)(bb') =a'[a(bb')]=bb' (2) 取a=b,则有bb兰bb',从而对G中任意元素a,b有 b'b三a'a=e, 即b是b的左逆元.因此，G作成一个群 证法Ⅱ 若G是群，条件(1)当然成立 反之，设条件(1)成立.任取a∈G,则有惟一元素a'∈ G对G中每个元素x都有 (aa)x=a(ax)=x, 即a'a是G的左单位元.令a'a=e,于是
30 第一章群 (a'a)(aa')=aa'. 再由条件(1)知 (a'a)(aa'）=[(a'a)a]a'=a'a,∴.a'a=aa' 再任取b∈G,同样由条件(1)知，G中存在惟一元素b' 使 (bb)(a'a)=b'[b(a'a)]=a'a, (bb)(aa)=(bb)(aa)=[(bb)a]a'=bb, 故bb=a'a兰e,即b是b的左逆元.故G是群. [33】设G是一个幺半群，e是G的单位元，a,b∈G. 证明：a是以b为逆元的可逆元当且仅当 aba=a,ab2a=e. 证 设a是可逆元且b是它的逆元，即 ab=ba=e. 则 aba=a(ba)=ae=a,ab2a=(ab)(ba)=ee=e. 反之，由aba=a得 ab=(aba)b=ab.ab=(ab)2, (1) ba=b(aba）=ba·ba=(ba)2. (2) 由(1)得 (ab)(ba)=(ab)2ba=(abab)(ba) =ab(ab2a)=ab·e=ab, 而(ab)(ba)=ab2a=e,故ab=e.由(2)得 (ab)(ba)=(ab)(ba)2=(abba)(ba) =(ab2a)(ba)=eba=ba, 但是(ab)(ba)=e,所以ba=e. 因此，a是以b为逆元的可逆元素. [34】设G是一个群.证明：G是交换群的充要条件