$2.群的定义及简单性质 31 是，对G中任意元素a,b都有 (ab)2=a2b2, 证设G是交换群，则对G中任意元素a,b显然有 (ab)2=(ab)(ab)=a2b2. 反之，设对任意a,b∈G都有 (ab)2=a2b2, 即ahab=aabb.此式左乘以a-1，右乘以b-1得 ebae eabe,ba=ab, 即G是交换群. 【35】设G是，一个群，a,b,c是G中任意三个元素. 证明：方程 xaxba xbe 在G中有且仅有一解. 证易验证x=a-1ca-1b-‘是以下方程的解： xaxba abc. (1)》 设y∈G也是此方程的解，即有 yayba ybc, (2) 则由(1)与(2)分别得 axbab-1c-1=e,aybab-1c-1=e. (3) 由(3)得 axbab-Ic-I=aybab-Ic-1, 从而x=y.即所给方程有且仅有一解. 【36】设群G中元素有以下性质：若有正整数k使 a=b*，就有a=b.证明：若有正整数m,n使 am6n=bam,（a,b∈G)） 则ab=ba. 证由amb”=b”am可得
32 第一章群 b-片ab”=am,或(bnab”》m=am 于是由题设条件知 b-"abn=a,或aba1=b”. 由此又有（aba-1)”=ab”a-1=b”,从而再由题设条件知， aba-1=b,即ab=ba. 【37】设a,b是群G中的两个元素，且存在整数m使 bab-1=amm. 证明：对任意自然数n,有b”abn=am“. 证对用数学归纳法. 当n=1时等式当然成立.假定等式对n-1成立，即有 bn-1ab-(n-1)=am-, 则由于bab-1=an,故有 (bab-1)m"=(am)m"I=am" 但是 (bab-1)m"'=bam"b- =b(bm-lab-(n-1))6-1=b"ab-n, 从而有b"ab"=am” 【38】设G是一个有限群，A与B是G的两个非空子 集.证明：如果A}+IB>|G引，则 G=AB={aba∈A,b∈B}. 证首先，当然AB二G. 其次，设若G车AB,则存在g∈G,g年AB.令 B-1={b-11b∈B, 则gB-1∩A=6.因若不然，设有x∈gB-1∩A,且令 x=gb-1=a,(a∈A,b∈B)
§3.元求的阶 33 则g=ab∈AB,与g年AB矛盾.故gB1∩A=0. 于是A二G-gBt.从而 IA1≤|Gl-IgB-1|. 但易知|B-1」=IB1,故 IAI≤G|-|B|,IA|+IB≤|G, 这与题设|A【+【B|>「G矛盾.故必G二AB,从而 G=AB 注本题的一个特例是，若A是有限群G的任一非空子集，测当 1A>14时，有G=A. §3.元素的阶 提 要 定义1设a是群G中的一个元素，则使a”=e的最小 正整数n,称为元素a的阶， 若这样的n不存在，则称d的阶为无限或零。 元素a的阶记为la. 定理1在群中，单位元且只有单位元的阶是1；有限群 中每个元素的阶均有限. 定理2若群中元素a的阶是z,但有整数m使am= e,则必nm
34 第一章群 题 解 【39】 证明：在任意群中，下列各组中的元素有相同的 阶： 1)a与a-1；2)a与cac-1(c∈G) 3)ab与ba；4)abc,bca,cab. 证1)设a”=e,则有 (a-1)”=a-n=(a")-1=e-1=e, 即(a1)”=e.反之，设(a-1》”=e,则由于 a"(a-1)n=a”a-n=e, 故得a”=e.因此，1a1=|a1|. 2)设a"=e,则有 (cac-1)m=ca"c-1=cec-1=e, 即有(cac-1)”=e. 反之，由(cac-1)”=e得ca”c-1=e,从而a=e. 由上即可知la|=|cac-1|. 3)因为ba=a-1(ab)a,从而由2)知，ab|=1ba. 4)因为abc=a(ca)a-1=c1(cab)c,故由2)知 abc=bcal=lcabi. 注以上的证明也包括了阶是无限的情形， 【40】设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵 普通乘法作成的群.试求G中下列各元素的阶： 1)a=(96》,b=(-9-》,ab: 2)c=(62),d=(6-),a; 3)w=(6引，v=(6-》,w:
§3.元素的阶 35 4)x=(6},y=(0-),xy. 解 1)易知有 a2=(-6-9),u3=(_9),a4=(69), 从而a的阶是4； 又 62=(}8),63=(69, 故b的阶是3； 又b=(仔})，且对任意正整数n有 (6)=(61)°=(”)≠(09》， 即乘积ab的阶为无限 2)易知c的阶无限，d的阶为2.但是 cd=(0-1) 的阶有限，是2. 3)易知对任意正整数n有 4=(62)≠(69）， 因此u的阶无限.而。的阶有限，为2，但是其乘积 w=(0》 的阶无限 4)易知对任意正整数n,有 x=(02n）≠(09》， 故方阵x的阶为无限；