§2. 群的定义及简单性质 21 故有方阵Y∈G使 XY=A, 从而|X「·1Y|=」A≠0，于是X≠0，即方阵X是满秩 的.由X的任意性知，G中的方阵全是满秩的 证法Ⅱ. 若G中有满秩方阵A,则A有逆方阵A1使 AA-=E,(E为n阶单位方阵) 设e是G的单位元，于是 eA=A,AA-1=AA-1,E=E,e=E, 即G中的单位元就是：阶单位方阵E(由此立即可知，A在 G中的逆元就是A的逆方阵A1). 现在在G中任取一个方阵B,面C是B在G中的逆元， 则 BC=E,IB|·|C引=|E=1. 从而|B|≠0，即B为满秩方阵.由B的任意性知，G中的 每个方阵都是满秩的. 注由证法Ⅱ知，若F上一些满秩方阵对方阵普通乘法作成群， 则这个群的单位元就是单位方阵，而每个方阵的逆元就是这个方阵的 通常的逆方阵。 另外，由降秩方阵对普通乘法作成的群是存在的.例如，由一切2 阶方阵 (0≠a∈Q) 作成的群雕是 【23】令G=}e,a,b!,且G有乘法表如下：
22 第一章群 a 证明：(G对此乘法作成一个群 证由乘法表可知，G对所说的乘法封闭，e是左单位 元；又显然 e-1=e,a-1=b,b-t=a, 即每个元素在G中都有左逆元 因此，要证G是一个群，只需证结合律成立. 1 证法I·任取x,y∈G,则显然有 e(xy)=x(ey)=r(se)=xy, (xx)x=x(xx); 其次，令x,y∈}b,c}且x≠y,则由乘法表知 xx=y,yy=x,ry=yr=e, 于是由乘法表得 (zx)y=yy=x=ze=x(xy), (xy)x=ex=xe=x(yx), x(y)=xx=y=ey=(xy)y, 从而结合律成立，G作成一个群， 证法亚.令 e=x0=x3=x6=…=x3=… a红正x1=x4=x7…=x3stl= b=x2=x5=x8=…=X3+2兰… 由乘法表可知
$2.群的定义及简单性质 23 x=x+j,i,j=0,1,2,…. 由于 (xi)xk=xi+j=ij+k, i(jk)=xij+k=xi+j+k, 故(xx,)x=x:(xx),即结合律成立，G作成群， 注由于由乘法表知a2=b,a3=e,则由指数规则知有(aa)a* -a(a'a*)=a++,即G对乘法满足结合律，此证法实质上同证法 亚是一致的. 【24】令M是除去0,1以外的全体实数作成的集合， G为M的以下六个变换作成的集合： c1(x)=x, (x)=2, a3(x)=1-x, 4(x=x1, 5(x)=2,d6(x)=z 证明：G对此乘法作成一个群. 证根据变换的乘法，可得G的乘法表如下： 02 6 02 03 d4 d5 66 d2 62 01 4 03 06 s 03 a3 55 6 02 04 4 1 03 05 64 62 66 66 04 d5 02 3 61 由此表可知，G对变换乘法封闭；义G是有限集合且 从乘法表知消去律成立（因为表中每行每列中的六个变换是 互异的)；·又变换的乘法满足结合律，故G作成一个群
24 第一章群 【25】令M是任意一个集合，P(M)是M的所有子集 (包括空集在内)作成的集合、证明：P(M)关于对称差 A·B=(A-B)U(B-A) 作成一个群 ·证P(M)关于对称差封闭是显然的.下证结合律成立. 任取A,B,C∈P(M),且x∈(AB)C,则由于 A·B=(A-B)U(B-A)=（AUB)-(A∩B), 故 x∈AB,x年C或x年AB,x∈C 1)如果x∈AB,x在C,则有 x∈A,x在B或x在A,x∈B. 当x∈A,x在B时，有 x∈A,x在BUC, 故x年BC,从而x∈A(BC)；当x年A,x∈B时，有 x年A,x∈(BUC)-(B∩C)=BC. 从而也有x∈A·(BC). 2)如果x在AB,x∈C,则有 x∈A,x∈B,x∈C或x在A,x年B,x∈C. 若是前者，则有x∈A,x在BC,于是 x∈A(BC); 若是后者，则有x在A,x∈BC,于是也有 x∈A·(BC). 因此由1)与2)知，(AB)C=A(BC). 类似可证A(BC)三(A·B)C,从而 (AB)C=A(BC), 即结合律成立. 空集a显然是P(M)的单位元：
$2.群的定义及蔺单性质 25 又A∈P(M)的逆元就是A自身，因为 A·A=(AUA)-(A∩A)=A-A=⊙. 因此，P(M)作成一个群. 【26】设u是群G的任意一个固定的元素.证明：集合 G对新运算 a6=au-b (a,b∈G) 作成一个群. 证显然所给的新运算是G的一个代数运算；又任取 a,b,c,∈G,则 (ab)oc=(au-ib)oc=(au-1b)u-ic, a(Boc)=a(bu-Ic)=au-1(bu-1c), 由于G是群，(aulb)u-1c=a41(bu-1c）,故 (a°b)c=a(bc）, 即G对新运算满足结合律. 又由对任意a∈G,有au=au-1u=a且 a(a-1lu）=au-t(ua-lu）=w, 即对新运算来说，u是G的右单位元，而ua1u是a的右 逆元，因此，G对新运算也作成一个群， 【27】设Q为有理数集，Z为整数集.任取a,b∈Q, 规定 ab←=→a-b∈Z. 证明：1)这是Q的一个等价关系； 2)等价类 Q/Z=ala∈Qi 对于运算a+b=a+b作成一个无限交换群. ,证1)由于a-a=0∈Z,故对任意有理数a,有aa: