16 第一章群 SLm={A|A∈Fn×”,{A|=1} 证明：GLn(F)与SL(F)对于方阵的普通乘法都作成群（前 者称为F上的一般线性群，后者称为F上的特殊线性群). 证 显然t阶单位方阵E∈SL,(F),且 SLm（F)三GLn(F), 因此GLn(F)与SLn（F)均非空. 1)任取A,B∈GL(F),则|A|≠0,1B}≠0，从而 AB!={A·IB≠0， 故AB∈GL(F). 结合律当然成立，又E是单位元； 最后，若A∈GLn(F),则！A|≠0，从而 A-∈F”×”且|A-[=「A|-1≠0， 因此A1∈GL(F),所以GLn(F)作成一个群. 2)任取A,B∈SI,(F),则|A!=IB=1,于是AB∈ Fnx”,且|AB|={A|·|B=1,从而AB∈SLn(F). 同样，结合律成立，E是单位元； 最后，若A∈SLn(F),则A∈Fnxn,A|=1,故 A-1∈F×m且|A-1」=|A|-l=1, 从而A1∈SLn(F).因此，SLn(F)也作成一个群， 【17】设F是一个数域，F”×n(n>1)如上题所示，问： 下列二集合 Sn(F)={AA∈Fmx",A|≠0且A'=A, U(F)=AlAEFx",AA=E 对方阵的普通乘法各是否作成群？ 解1)Sn(F)对方阵的普通乘法不能作成群.因为，虽
S2. 群的定义及简单性质 17 然A|≠0，IB|≠0可得|AB≠0，但是由A'=A,B=B 可得 (AB)'=B'A'=BA, 而一般BA≠AB,即一般(AB)'≠AB,亦即二对称方阵之 积不一定是对称方阵.即所给运算不是S(F)的代数运算， 因此Sn(F)不能作成群. 2)Un(F)对方阵普通乘法能作成群 首先，显然E∈U(F),且E为其单位元. 又任取A,B∈U,(F),则 AA'=E,BB'=E. 于是 (AB)(AB)'=ABB'A'=AEA'=AA'=E, 从而AB∈Un(F). 结合律当然成立· 又若A∈U(F),则AA'=E,即A'=A-1,从而 A-1(A-1)=A'(A')'=A'A=A-1A=E, 即A-1∈Un(F).所以Un(F作成群. 注当F为实数域时，通常称U(F)为实正交群. 【18】设G是整数环Z上行列式等于1或一1的全体 阶方阵作成的集合.证明：对于方阵的普通乘法G作成一个 群. 证 G显然非空.又任取A,B∈G,则 1A|=±1，|B|=±1， 于是乘积AB是整数方阵，且 |ABI=IA·|B=±1， 故AB∈G,即方阵的普通乘法是G的代数运算. 结合律当然成立，且E是G的单位元
18 第一章群 又设A∈G,则由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵 A也是整数方阵：又由于|A|=士1，故 A1=AA=±A, 从而A是整数方阵.又由于 |A11·|A|=|±A"|·A{=1, 而|±A*与AI都是整数，故！A1!=±1，因此A1∈ G,即G中每个元素在G中都有逆元. 因此，G作成一个群 【9】设J是数域F上任意一个固定的n阶满秩方阵， 证明： G={A|A∈Fnxn,AJA'=J} 对于方阵的普通乘法作成一个群. 证 显然n阶单位方阵E∈G,故G非空、又任取A, B∈G,则 AJA'=J, BJB'=J, 于是 (AB)J(AB)=A(BJB)A=AJA'=J, 即AB∈G 结合律当然成立.又显然E是G的单位元 最后，由于J是满秩方阵，J引≠0，从而由 JI=|AJA'=AI·|J|·|A' 可知A|≠0，因此A-存在，且由AJA'=J可得 A1J(A-1)=A-1J(A')-1=J, 即A1∈G,所以G对方阵的普通乘法作成群. 【20】令G是由以下四个二阶方阵作成的集合：
S2. 群的定义及简单性质 19 (09),(0-).(6-9),(9) 证明：G对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出G的 乘法表· 证依次用e,a,b,c表示G中的四个方阵，则根据方 阵的普通乘法可得G的乘法表如下： a 4 e 由此表可知，方阵普通乘法是G的代数运算，e是G的 单位元；又由于与对角线对称位置上的元素相等，故G中任 二元素相乘时可以交换，且每个元素在G中都有逆元，即自 身；结合律当然成立，故G对方阵普通乘法作成一个群，且 是一个交换群. 【21】设p是任意一个固定的素数，又G。为分母与p 互素的全体有理数作成的集合，而H。为分母力是的方幂 (p,≥0)的全体有理数作成的集合.证明：G。与H。对于 有理数的普通加法均作成交换群. 证1)Gb显然非空.又任取a,∈G,且 其中a,b,c,d都是整数，且(a,p)=(c,p)=1,于是(c, p)=1且·
20 第一章群 a+g=ctad∈Gp, ac 即有理数的普通加法是(G的代数运算. 有理数的普通加法当然满足结合律和交换律， 又0=9∈G,且是Gn的单位元： 又当a=名∈G,即(a,p)=1时，当然 -a=b∈Gp, 故G。对有理数的普通加法作成一个交换群】 2)Hp显然非空.又任取a,B长Hp,且令 ，9舟 0i) 则 a+p-apit6cH p 从而有理数的普通加法是H。的代数运算； 有理数的普通法当然满足结合律和交换律， 又0=丹∈H,为4，的单位元，而-a=方2∈h,是a 在H。中的逆元.因此，H。对有理数普通加法作成一个交换 群. 【22】设G为数域F上某些方阵对方阵普通乘法作成 的一个群.证明：G中的方阵或者全是满秩的，或者金是降 秩的 证证法工. 若G中的方阵全是降秩的，已对；若G中有方阵A是 满秩的，则任取X∈G,由于G对方阵的普通乘法作成群