S2.群的定义及简单性质 11 I,结合律成立，即对G中任意三个元素a,b,c都有 (ab)°c=4(b°c); Ⅱ.G中有元素e,叫做G的左单位元，它对G中每个 元素a都有ea=a; Ⅲ.对G中每个元素a,在G中都有一个元素存在，记 为a1,叫做a的左逆元，使a1a=e; 则称G对代数运算作成一个群. 若对群G中任二元素a,b都有ab=ba,则称G为一个 可换群（交换群或Abel群）. 包含有限个元素的群G,称为有限群；否则称为无限群. 有限群G中所含元素的个数记为「G,称为群G的 阶.更一般地，用M表示集合M中元素的个数或势， 定义2（群的第二定义）设G是一个非空集合，若G 有一个代数运算叫做“乘法”且满足 I.结合律成立：(ab)c=a(bc),（Va,b,c∈G): Ⅱ.对(G中任二元素a,b,方程ax=b与ya=b在G 中都有解； 则称G对此乘法作成一个群. 定理】群G中元素a的左逆元也是a的右逆元，且是 惟一的，称为a在G中的逆元 定理2群G中的左单位元也是一个右单位元，而且是 惟一的，称为G的单位元，一般用e表示. 题 解 【13】下面各集合对相应给出的运算，哪些作成群？娜
12 第一章群 些不能作成群？并说明理由： 1)实数集R,对运算ab=2(a+b); 2)G={1,-1},对数的普通乘法： 3)非零实数集R",对运算a·b=2ab; 4)非零实数集R·,对运算a·b=ab1; 5)所有实数对(“，b)作成的集合，对运算 (a,b)(c,d)=(a+c,b-d); 6)整数集2，对运算ab=a+b-1; 7)G=（-8)儿a,b为实数且a2+b2≠0，对方阵 的普通乘法： 8)非空集合M的所有子集作成的集合P(M),对运算 AB=A∩B,(A,B=M): 9)上述集合P(M)对运算AB=AUB; 10)G=}力"g”m,n∈Z},其中p,g,是两个固定的 不同素数，对数的普通乘法. 解1)不能.因为R对所给出的运算来说没有单位元. 事实上，若R有单位元x,则由于0∈R,:得 x0=2(x+0）=2x÷0, 从而x=0.但是1∈R,而 10=2(1+0)=2≠1， 这与x=0是R的单位元矛盾（实际上，结合律也不成立）. 2)能作成群.因为数的普通乘法显然是G的代数运算， 结合律当然满足：又1是G的单位元，而1与一1的逆元均 为自身，故G对数的普通乘法作成群. 3)能.因为所给运算显然是非空集合R*的代数运算
§2.群的定义及简单性质 13 又易验证它满足结合律，且子是R“的单位元；最后，对R 中任意a显然子aER为其逆元 4)不能.因为1,1∈R*,但方程 1ox=-1即1x1=-1 在R"中无解，从而由群的第二定义知，R对所给代数运算 不能作成群。 5)不能.因为所给运算不满足结合律：例如，取a=五= (0,0),c=(0,1),则 a(b°c)=(0,0》(0,-1)=(0,1), (ab)c=(0,0)(0,1)=(0,-1), 即 a(bc)≠(ab)c, 6)能.因为所给运算显然是Z的代数运算，且易知 (ab)oc=a(boc)=a+b+c-2, 即所给代数运算满足结合律；又显然1是Z的单位元；最后 2-a是Z中元素a在Z中的逆元，故Z对所给的代数运算 作成群. 7)能.显然G非空：又在G中任取 (-8),(-a). 则a,士b,c,±d均为实数，且 a2+b2≠0， c2+d2≠0， 从而ac-bd与±(ad+bc)都是实数，且 {ab-bd)2+(ad+bx)2=(a2+b2)(c2+d2)≠0 于是(-8(-4-(-a+纪，ad+)ec
14 第一章群 即方阵的普通乘法是G的代数运算； 又方阵的普通乘法当然满足结合律，()Q)显然是G 的单位元：最后易知，G中元素(_分)的逆元是 a+6(8. 因此，G对方阵的普通乘法作成一个群。 8)不能.因为易知，对所给运算来说，P(M)的单位元 是M,但对于M的任一真子集N,不存在X∈P(M)使 Nx=N∩X=M, 即N在P(M)中无逆元，故P(M)对所给的运算不能作成群. 9)不能.因为对所给的运算，P(M)的单位元是空集o, 但对M的任一非真空子集N,不存在Y∈P(M)使 N。Y=NUY=o, 即N在P(M)中无逆元，所以P(M)对所给的运算不能作 成群。 10)不能.因为显然1=pq°∈G,且是G的单位元，但 对于 p=pq°∈G, 不存在x∈G使x=1,即力在G中不存在逆元，故G对 普通乘法不能作成群. 【14】令N为正整数集，并规定 a°b=a+b+ab,(a,b∈N) 问：N对所给的运算·能否作成群？ 解N对所给的运算不能作成群，因为没有单位元. 事实上，由于1∈N,而对任意x∈N,都有
S2.群的定义及简单性质 15 x1=x+1+x=2x+1≠1 【15】 设G={(a,b)川a,b为实数且a≠0，并规定 (a,b)（c,d)=(ac,ad+b）. 证明：G对所规定的运算。作成一个群. 证显然G非空.又在G中任取(a,b),(c,d),则a, b,c,d是实数且a≠0，c≠0，于是ac,ad+b都是实数且 ac≠0，从而 (a,b）(c,d)=(ac,ad+b)∈G. 再任取(e,f)∈G,则有 [(a,6)(c,d)](e,f)=(ac,ad+b)(e,f) =(ace,acf+ad+b), (a,b)[(c,d)(e,f)]=(a,b)(ce,cf+d) =(ace,acf+ad+b）, 从而[(a,b)(c,d)](e,f)=(a,b)[(c,d)(e,f)],即 G对·满足结合律. 又(1,0)∈G,且(1,0)(a,b)=(a,b),即(1,0)是G 的左单位元；又对G中任意(a,b),有 (日，-2)eG,且(，-2）(a,6)=(1,0), 即（日，-）是(a,b)在c中的左逆元，因此，G对作成 个群. 注G不是交换群，因为例如易知 (3,6)=(1,2)(3,4)≠(3,4)(1,2)=(3,10) 【16】设F是任意一个数域，Fn×n是F上全体n阶方 阵作成的集合.又令 GLW(F)=AA∈Fn×R,|A≠0}