6 第一章群 2)若，x都是满射，则xo是满射：反之，若xa是满射， 则x是满射 证1)乘积ro是集合A到(C的映射.设x1,x2∈A,且 x1≠x2,则由于。是单射，故 o(x)≠o(x2): 又因为x是单射，故 x(a(x))≠x((x2)),(xo)(x1)≠(xa)(x2), 即o是集合A到C的单射. 反之，设o是A到C的单射，则对A中任二不同元素 x1,x2有 (xo)(x1)≠(xo)(x2),x[g(x1)]≠x[g(x2)]. 从而σ(x1)≠。(x2),即σ是A到B的单射. 2)设g,x都是满射，则测任取c∈C,由于x是满射，故 存在b∈B使 t(b)=c. (1) 又由于g是A到B的满射，故对于b∈B有 a(a)=b,(a∈A） (2) 从面由(1)，(2)得 1 r[a(a)]=c,(to)(a)=c. 亦即xa是A到C的满射. 1 反之，设乘积xo是集合A到C的满射，则任取c∈C, 必有a∈A使 (xd)(a)=c, 即x[a(a)]=c. 亦即有b=g(a)∈B使x(b)=c.因此，x是集合B到C的 满射
§1.映 射 注半x和是单射时，x不一定是单射.例如，A是正整数集合， B与C都是整数集合，又 6:A--B aa2 r:B--C6, 则易知乘积xo是单射，但x不是单射. 对满射也有类似情况. 【9】设g是集合A到集合B的一个映射.证明： 1)。是单射当且仅当存在B到A的映射x,使ta=1A: 2)。是满射当且仅当存在B到A的映射x,使r=1B, 其中14,1B分别为集合A,B的恒等映射 证1)设。是单射，令B={blb∈B,b年a(A)}, 则 B=a(A)UB',且G(A)∩B'=o. 任取ao∈A,则显然 x:ba,当b∈g(A),b=a(a): b'a0,当b'∈B'. 是集合B到A的-一个映射，且对任意x∈A,都有 (xo)(x）=x,即x=1A. 反之，若存在映射t:B·A使x0=1A,则因1A是双 射，当然是单射，故由上题知，。是单射 2)设c是满射，则任取b∈B,在A的子集。-1(b)中任 意取定一个元素a,并令 T:B-A,b(8)=a, 其中o(a)=五.于是显然对任意b∈B有 (r)(b)=g(x(b))=a(a)=b, 即gr=1B. 反之，若存在映射x:BA使r=1B,则由于1B是
8 第一章群 双射，当然是满射，故由上.题知，G是满射 【10】设。是集合A到B的一个映射.证明： 1)是单射，当且仅当对任意集合X到A的任意映射 x1,T2,若有ar1=0x2,必有x1=x2 2)。是满射，当且仅当对任意集合Y和B到Y的任意 映射x1,t2,若有x1o=t2c,必有x1=x2: 证I)设。是单射，且or1=r2,其中x1,x2都是集合 X到A的映射，则任取a∈A,有 (at1)(a)=(r2)(a),o(x1(a))=a(x2(a)). 由于g是单射，故x1(a)=x2(a),从而x1=t2、 反之，设对任意集合X到A的任意映射x1,x2,由r1 =ox2可得x1=x2,则g必为单射.因若不然，设a不是单 射、则在A中存在元素a1≠a2,使c(a)=。(a2).今取X =A,并令x1:xa1与x2:x→a2(Hx∈X),则 (ori)(x）=c(x1(x))=c(a1), (ar2)(x）=g(x2(x))=a(a2). 由于a(a1)=a(a2),故(r1)(x=(or2)(x),从而 at1=0T2. 但由于x1(x）=a1≠a2=x2(x),故t1≠x2·这与假设矛盾 因此。为单射. 2)设。为满射，且x1o=x2o,其中x1,x2是集合B到 集合Y的两个映射，则对任意b∈B有a∈A使c(a)=b. 于是 (x1o)(a)=(x2c)(a),x1(b)=x2(b) 从而x1=r2:
§1.映 射 反之，若对B到任意集合Y的任意映射x1,r2有℃1o= x2c必有x1=x2,则a必为满射.因若不然，任取一个集合 Y,使|Y|≥2，则 B=B-σ（A)≠O, 于是任意取定y,y2,y∈Y,且y1≠y2,则 x1:b*y,b'*y1与x2:by,b'产y2 (其中b∈σ(A),b'∈B)显然是B到Y的两个不同的映 射.但是对任意a∈A,有 (x1o(a)=x1(o(a))=y, (x2o)(a)=x2(a(a)=y, 即有x1σ=x2o,但是x1≠x2,这与假设矛盾，因此s必为满 射. 【11】设A是一个非空集合，P(A)是A的幂集，即由A 的一切子集所作成的集合.证明：不存在P(A)到A的双射. 证反证法、假设P(A)与A之间存在双射f,令 A1=f(M)IM∈P(A),fM)在M}. 下面来考察f(A1). 若f(A:)∈A1,则根据A1之定义，A1中无f（A1),矛 盾；若f(A:)在A1,则同样根据A1之定义，又有f(A1)∈ A1,也矛盾.因此，P(A)与A之间不存在双射. 【12】设A是任意一个非空集合，B是A到集合{0,1} 的一切映射所作成的集合.证明：在A与B之间不存在双射. 证证法I.反证法 假设A到B存在双射中，且令 9:A--B,ata
10 第·章群 现在规定 o:A*10,1x*c(x)∈0,1}-xx(x), 则易知G是A到0,1的一个映射，即。∈B.但是，由于 对任意t∈B都有o≠x,即又有a在B,矛盾.因此，A到 B不存在双射 证法Ⅱ.定义 p:B*P(A)={M|M三A}o-*o-1(0), 则显然9为映射，且。1(0)U。1(1)=A. 又因为{0,1：只有两个元素，所以对B中的g,x当a≠ x时，g1(0)≠x(0),从而9是单射. 又对任意M∈P(A),规定 a:A→0,1}x→ ：A:后M: 则显然a∈B,且p(a)=M,从而P又是满射. 即9为B到P(A)的一个双射. 但出上题知，A与P(A)之间不存在双射，从而A与B 之间也不存在双射 注将{0,1}换为10，上，2、…，n}时，命题仍成立. $2.群的定义及简单性质 提 要 定义1设G是一个非空集合，是它的一个代数运算 如果G满足以下条件：