第一章 群 §1. 映射 提 要 定义1设X和Y是两个非空集合.如果有一个法则 P,它对于X中每一个元素x,在Y中都有一个惟一确定的 元素y与它对应，则称9为集合X到集合Y的一个映射.这 种关系常表示成 o:X--Y,xH-y=o(x), 并把y叫做x在映射之下的象，而把x叫做在伞之下元 素y的逆象或原象. 如果中和中的都是集合X到Y的映射，且对X中任意 元素x都有g(x)=(x),则称p与中相等，记为伞=中. 若A是X的一个非空子集，则称Y的子集 p(A)=p(a)la∈A 为子集A在P之下的象：若B是Y的一个非空子集，则称 X的子集 p-l(B)={xx∈X,p(x)∈B} 为子集B在中之下的逆象或原象. 定义2设伞是集合X到集合Y的-一个映射.如果对X
2 第一章群 中任二元素x1≠z2都有(x!)≠(x2),则称中为X到Y 的一个单射： 若对Y中每个元素y,在X中都有元素x存在使中(x) =y,测称P为X到Y的一个满射， 如果中是X到Y的单射，又是满射，则称P为X到Y 的一个双射 X到X的映射，称为X的一个变换 类似有X的单射变换、满射变换和双射变换， 定理设X与Y是两个有限集合，且X!=IY」，即 X中的元素个数与Y中的元素个数相等，则X到Y的映射 9是单射当且仅当中是满射. 题 解 【1 设M、N是两个非空集合，且IM}=m,INL= n.问： 1)M到N可建立多少个映射？ 2)M到N可建立满射、单射、双射的条件各为何？各 能建立多少个？ 解1)设中是从 M={a1,a2,…,un}到N=1b1,b2,…,bnf 的任一映射，则p(a;)(1≤i≤m)可为b1,b2,…,b中的任 一个，即a:的象有n种选法，且选法不同所决定的映射也不 同；由于这样的a:共有个，因此，M到N可建立且仅能 建立n”个（即从n个元素中每次取m个的重复排列数）映 射.·
§1，映 射 3 I 1 2)M到N可建立满射的充要条件是m≥n.又因为是 满射，故N中每个元素都必须有逆象，于是N中元素b1的 1 逆象在M中有m种取法，b2的逆象有一1种取法，…，b, 1 的逆象有一n+1种取法.故共有 1 p=m(m-1)…(m-n+1)》 | 种取法，亦即M到N能而且只能建立P,个满射 又M到N可建立单射的充要条件是m≤≤n.且类似满 射情况可知，能而且只能建立P个从M到N的单射. 最后，出定理及以上二结论可知，M到N能建立双射 的充要条件是=n，且仅能建立m！个双射， 【2】试给出集合X={1,2,3,4,51到Y={0,2,4,6,8. 10的两个单射. 解例如，P1:x*2x与2：10，其余x卜*2x 就是X到Y的两介单射. 【3】设X是数域F上全体n阶方阵作成的集合.问： P:A=|A1是否为X到F的个映射(|A1为方阵A的 行列式)？是否为满射或单射？ 解当n=1时即p:(a)a是双射；当n>1时中 满但非单，因为 I4】设A与B是数域F上两个n阶相似方阵，F[A] 为系数属于F的关于A的一切多项式作成的集合.问：法则 P:f(A)f(B)是否为集合F[A]到F[B]的映射？其中 f(x)∈F[x]:是否为单射或满射？
4 第一章群 解 设B=CAC-1(C可逆)且f(A)=g(A),则 (B)=(CAC-1)=C(A)C-1 =Cg(A)C1=g(CAC-1)=(B), 即P是F[A]到F[B]的映射.又p显然为满射. 最后由f(B)=g(B同.上可得f(A)=g(A),即9又 是单射，从而P是双射 【5】给出整数集到偶数集的两个不同的映射. 解例如，p1:x2x及p2:x2(x+1)即是， 其中x为任意整数， [6】设P是集合X到Y的一个映射，而A与B是X 的任二非空子集.证明： 1)(AUB)=(A)Uo(B); 2)(AnB)二p(A)∩p(B). 证1)任取y∈p(AUB),则存在x∈AUB,使 y=o(x). 若x∈A,则P(x)∈p(A),于是 y=p(x)∈p(A)U(B; 若x∈B,则e(x)∈p(B),上式仍成立.故 (AUB)C(A)U(B). 反之，任取y∈(A)Up(B),不妨设y∈(A),于是 存在x∈A使y=P(x).由于x∈ACAUB,故 y=p(x)∈p(AUB), 从而P(A)Up(B)二e(AUB).因此 p(A)Up(B)=中(AUB). 2)任取y∈p(A∩B),则有x∈A∩B使p(x)=y. 因为x∈A∩B,故x∈A,x∈B,从而
§1.映 射 5 y=p(x)∈p(A),y=p(x)∈p(B), 所以，y∈p(A)∩p(B).因此 P(A∩B)=P(A)∩P(B) 注 可能出现p(A∩B)C(A)∩p(B),自己试举一例. 【7】设P是集合A到B的任意一个映射，S与S分别 为A与B的非空子集.证明： 1)p'(P(S》)三S,且当P为单射时等号成立； 2)p(p(S)二S,且当9为满射时等号成立. 证1)任取x∈S,测(x)∈p(S).从而 x∈p1(p(S),∴.S三p1(g(S). 如果p是单射，任取y∈p1(g(S),则必p(y)∈ (S),从而有x∈S使P(x)=p(y).但因是单射，故 y=x∈S,p-1(p(S))S. 于是p(p(S)=S. 2)任取y∈p(p1(S),则有x∈年‘(S)使y=(x）. 但由于x∈g1(S),故p(x)∈S,从而y=p(x)∈S'. .p(pl(s)三S' 又当P为满射时，任取z'∈S,则存在x∈A使p(x》 =x’.于是 x∈p(s),p(x)∈p(p1(S)), 即x∈g(p(S),故又有S二p(单1(S)、从而 p(g-1(S)=S'. 【8】设6与x分别为集合A到B以及B到C的映射. 证明： 1)若g,x都是单射，则xo是单射：反之，若0是单射， 则。是单射