CHAPTER 苦通高中课程标准实验教科书数学4必修 (m) (1 D a的 终边 (m) 图1.2-7 考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能吾给线段OM、MP规定一 个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角a的 正切吗? 我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此一个自然的想法是以坐 标轴的方向来规定线段OM、MP的方向,以使它们的取值与P点的坐标联系起来 当角a的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且有负值x.其中x为P点的横坐标.这样,无论哪一种情况 都有 OM=r=cos a 同理,当角a的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y当线段MP与y轴反向时, MP的方向为负向,且有负值y.其中y为P点的纵坐标这样,无论哪一种情况都有 MP sIn a 像OM、MP这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段( directed line segment) 那么,如何用有向线段来表示角a的正切呢? 16温
第一草三角丽数 第一章 如图1.2-7,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线 相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识,●这个等成呢 必然平行于y轴(为什么?),设它与a的终边(当a为第一、 ●你能自 四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时) 学 助有向线段OA、AT,我们有 tana=at=yo 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 单位圆中的三角函数线 AT,分别叫做角a的正弦线,余弦线、正切线,统称为三是数形结合的有王具,借 角函数线 励它,不但可以画出准确的 当角a的终边与x轴重合时,正弦线,正切线分别变成远角函数固象,延可以讨论 三角函数的性质 一个点,此时角a的正弦值和正切值都为0;当角a的终边 与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角 a的正切值不存在 练习 1.你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质? 2作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (2 52 (3) 2r (4)-13 3.作一个以5cm为单位长度的国,然后分别作出225°,30角的正弦线、余弦线、正切线,量 出它们的长度,从面写出这些角的正弦值,余弦值、正切值 )4你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用? 三角学与天文学 三角学的起源、发展与天文学密不可分,它是天文观察结果推算的一种方法在1450 年以前的三角学主要是球面三角,这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践 活动的需要,而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力,这种“量天的学问”确实太诱 人了,后来,由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角 在欧洲,最旱将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯 (. Regiomontanus,1436-1476).他在1464年完成的5卷本的著作《论各种三角形》,是 欧洲第一部独立于天文学的三角学著作,这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐 ■17
CHAPTER 普通高中课程标准实箍教科书数学↓必修 述,前2卷论述平面三角学,后3卷讨论球面三角学,前2卷中,他采用印度人的正弦, 即弧的半弦,明确使用了正弦函数,讨论了一般三角形的正弦定理,提出了求三角形边长 的代数解法;后3卷中,给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理,他的工作为三 角学在平面与球面凡何中的应用奠定了牢固基础,对16世纪的数学家产生了极大影响, 也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响 由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦数和余孩函数,而且函数值也限定在正数范围内, 因而不能推出应有的三角公式,导致计算的困难.后来,哥白尼的学生雷提库斯 (G.J. Rhaeticus,1514-1576)将传统的孤与弦的关系改进为角的三角函数关系,把三角 函数定义为直角三角形的边长之比,从而使平面三角学从球面三角学中独立出来,他还采 用了六个函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割),制定了更为精确的正弦、正切、 正割表。这些工作都极大推进了三角学的发展.实际上,由于天文学研究的需要,制定更 加精确的三角画数表一直是数学家奋斗的目标,这不但大大推动了三角学的发展,而且在 某种程度上还爭致了对数的发明 法国数学家韦达(F.Viea,1540-1603)所做的平面三角与球面三角系统化工作, 使得三角学得到进一步发展.他总结了前人的三角学研究成果,将解平面直角三角形和斜 三角形的公式汇集在一起,还补充了自己发现的新公式,如正切公式、和差化积公式等. 他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.对球面直角三角形,他给出了计算的 方法和一套完整的公式及其记忆法则,并将这套公式表示成了代数形式,这是非常重要的 工作, 16世纪,三角学从天文学中分离出来,成为数学的一个独立分支后来,在微积分、物 理学的研究和应用(如对振动、声音传播等的研究)中,三角学又找到了新的用武之地 122同角三角函数的基本关系 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的、你能从圆的几何性质出 发,讨论一下同一个角的不同三角数之间的关系吗? 如图1.2-8,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且 OP=1,由勾股定理有 OM+MP-1. 181
第一a三角数 第一章 因此x2+y2=1,即 sina+cosa=I 显然,当a的终边与坐标轴重合时,这个公式也 成立 根据三角函数的定义,当a≠k丌+(k∈Z)时,有 M A(1.0)x cOs a tan o0 sIn a 这就是说,同一个角a的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角a的正切 图1.2-8 例已知sQ=-3,求sa,mna的值 解:因为sina<0,sina≠-1,所以a是第三或第四象限角 由sin2a+cos2a=1得 3 sin a 5 如果a是第三象限角,那么csa<0.于是 cos a 从而 tan sIn a cos a 如果a是第四象限角,那么 cos a-=, tan a 例141- sIn r cos T 1+sin r 证法1:由cox≠0,知sinx≠-1,所以1+sinx≠0,于是 cos r(+sin x) 左边一(1-sinx)(1+sinx cos r(l+sin x) I-sin'r COSY sn T COS.L l-+sin r cosx右边 所以原式成立 0今后,除特殊注明外,我们假定三角恒等式是在便两边都有意义的情况下的恒等式
CHAPTER 通高中课程标准买验教科书数学4必修 证法2:因为 (I-sin r)(l-+sin r) I-sin'r= x cOs.rcos.I, 且1-sinx≠0,Csx≠0,所以 cos a 1-+sin ar 1-sin r cos r 从例7可以看出,证明一个三角恒等式的方法多种多样,你能总结一下吗? 门练习 3-1.已知c0a=-,且a为第三象限角,求sna,tana的值 )2.已知-5,求学,m的值 3.已知sinb=0.35,求cos、tan的值(计算结果保留两个有效数字) 3)+化简 (1) cos Can E (2)Na-1 sn a 5求证 (1) sin'a-cow'aewin e-cos'e (2) sin'a+ si'acosa+cosa=l 习题1.2 A组 1.用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数值 (1) (2) (3) (4)130° 2.已知角a的终边上有一点的坐标是PC3a,4a),其中a≠0,求sna,osa,tana的三角函数值 3.计算 (1)6sn(-90)+3sino-8sin270%+12cs1804; (2)10cs270°+4sin0°+ptan0°+15cs360° (3)2c0s 2n4+mn2言一sn+cos+sin; (4)sin2分+cos 20