,图 1.2 任意角的三角函数 121任意角的三角函数 考 我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值 为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三 角函数吗? 如图1.2-1,设锐角a的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合,那么它的终边在第一 AP(aby 象限.在a的终边上任取一点P(a,b),它与原点 1的距离r=√a+b>0.过P作x轴的垂线,垂足 为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度 为b 根据初中学过的三角函数定义,我们有 MP b sin a OP cOsa≈OM MP OP tan a OM 图1.2-1 由相似三角形的知识,对于确定的角a,这三个 1比值不会随点P在a的终边上的位置的改变而改变, 因此我们可以将点P取在使线段OP的长r=1的特 P(a,b) 殊位置上(如图1.2-2).这样就可以得到用直角坐标 系内点的坐标表示的锐角三角函数: M JACO)r 如-淠=6m-器-m-器 图1.2-2
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学4必修 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长的圆中,角a的弧度数的绝对值等于圆心 角a所对的弧长(符号由角a的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆( unit circle).这样,上述P点就是a的终边与 单位圆的交点,锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示 同样的,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数 如图1.2-3,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 Plr P(x,y),那么: (1)y叫做a的正弦(sine),记作sina,即 AcLoy sin a-yI (2)x叫做a的余弦( cosine),记作cosa,即 cos a-: (3)叫做a的正切( tangent),记作1ana,即 tan a 可以看出,当a=2+k(k∈Z时,a的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等于0,所 以tana=2无意义.除此之外,对于确定的角a,上述三个值都是唯一确定的.所以,正弦 余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将 它们统称为三角函数( trigonometric function).由于角的集合与实数集之间可以建立一一对 应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数 求的正弦,余弦和正切值 解:在直角坐标系中,作∠AOB=3(如图1.24).易知 ∠AE的终边与单位圆的交点坐标为,一),所以, sIn 例2已知角a的终边经过点P。(-3,-4),求角a 的正弦、余弦和正切值 Pa(-3,-4) 分析:如图1.2-5,由△OMP△OMP,可求出相 应的三角函数值 图1.2-5
第一章三函数 第一章 解:由已知可得: OP|=√(-3)2+(-4) 如图1.2-5,设角a的终边与单位圆交于点P(x,y) 分别过点P、P作x轴的垂线MP,MP,则 一般地,设角a终边上任 MPa|=4,|MP|=-y, 意一点的坐标为(x 它与 原点的距离为r,则 OM|=3,|OM=-x, sina=上 △OMP△OMP, 于是 MP sIn a-) ran o-a lOP 你能自己给出证明吗? I-OMI OM,3 COS o-T- 1 OP m=x-2-3 究 请根据上述任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在 弧度制下的定义域填入下表1.2-1,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图1.2 6中的括号 表1.21 三角函数 定义域 a sin c COs u ln o tan a 图1.2-6 例3求证:当下列不等式组成立时,角0为第三象限角.反之也对, sin 60, ① 证明:我们证明如果①②式都成立,那么6为第二象限角 因为①式sink<0成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的 非正半轴重合; 又因为②式tan0>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限 因为①②式都成立,所以0角的终边只能位于第三象限.于是角0为第三象限角 ■13
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学4必修 反过来请同学们自己证明 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一 组公式(公式一) sin(a+k·2m)=sina, 由公式一可知,三角函 数值有“周而复始”的变化 cos(a+k·2m)=cosa, 规律,即角α的终边每绕原 tan(a+k·2n)=tana, 点旋转一周,函数值将重复 其中k∈Z 出现 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0到2(或0°~360°)角的三角函数值 例4确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250° (2) (3)tan(-672°) (4) tan 3z 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 (2)因为一是第四象限角,所以 SIn (3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°, 而48是第一象限角,所以 tan(-672)>0; (4)因为 tan 3x=tan(TT-+2)=tan Tt, 而丌的终边在x轴上,所以 用计算器验证请同学们自已完成 例5求下列三角函数值: (1)sin148010;(2)cosa;(3)tan/-1x 可以直接利 解:(1)sin1480°10′=sin(40°10+4×360°) 用计算器求三角 函数的值.用计 sin4010≈0.645; 算器求值时要注 意角的度量制 (2)cos -cos[2+2r=cos =i 问题 目14
第一三角函数 第一章 llπ 6) -tan( 2- - ta 练习 1.利用三角函数的定义求的三个三角函数值 2.已知角8的终边过点P(-12,5),求角B的三角函数值 3.填表 角a 角a的弧度数 sIn d C(s cr tan c 3本,(日答)设是三角形的一个内角,在sm,四,m,tn号中,哪些有可能取负值? 5.确定下列三角函数值的符号: (1)sinl56° (2)cos -T: (3)cos(-450°) tan 8 (5)sn(4r )6)1m56 6.选择①sin0>0,②sinb<0,③cos>0,④eos0,⑤tanb>0与⑥"tan<0”中适当的 关系式的序号填空: 3(1)当角为第一象限角时 ,反之也对; (2)当角6为第二象限角时, ,反之也对 (3)当角为第三象限角时, 反之也对 (4)当角6为第四象限角时, ,反之也对 7.求下列三角函数值(可用计算器) (1)cosl109°; (2) tan 19 (3)sin(-1050°);(4 4)tan(315 4 下面我们再从图形角度认识一下三角函数 如图1.2-7,角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.根据 角函数定义,我们有: IMPI=y=Isin a I lOM=Ir|=lcos al. ■15