CHAPTER 普通高中课程标雇买验科书数学4必 112弧度制 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、磅等不同的单 位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢? 我们知道,角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的这种用度作为单位 来度量角的单位制叫做角度制( degree measure).为了使用方便,数学上还采用另一种度 量角的单位制—弧度制( rAdian measure): 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度( radian)的角,用符号mad表示,读作弧度 如图1.1-8,圆O的半径为1,AB的长等于1,∠AOB就是1弧度的角 可以证明 定大小的圆 △|md 角q所对应的孤 长与率径的比值 是唯一确定的, 每声光美 解并且不水种再助话面做体年正新 4;图形:要一个平渐米满点静去要,那动速量 净曹小部都述作流量到时 表 和海 一对正和治理整一子江(,刚的教一,带身的理)
第一草三角函数 第一章 如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为,那么,角a的弧度数的绝对值是 6世纪,印度 这里,a的正负由角a的终边的旋转方向决定 人在制作正弦表 用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都是时 ,曾用同一单 0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同 位度量半径和圆 周,孕育着最早 因为周角的弧度数是2r,而在角度制下的度数是360,所以 的弧度制概念 360=2xrad, 欧拉是明确提出 弧度制思想的数 180=t rad 学家.1748年, l80rad≈0.01745rad 在他的一部划时 代着作《无穷小 反过来有: 分析概论》中, 提出把圆的半径 I rad 180 2≈57.30°=57°18′. 作为弧长的度量 单位,使一个圆 一般地,我们只需根据 周角等于2x弧 度,1弧度等于周 1180ad≈0.01745rad 角的点.这一思 想将线段与弧的 180°=rad 度量统一起来, I rad= 180 57.30 大大简化了三 公式及计算 就可以进行弧度与角度的换算了 例按照下列要求把6730化成弧度 利用下列算法可以把角 度換算为弧度,你能在计算 (1)精确值;(2)精确到0.001的近似值 机上实现一下吗 解:(1)因为730-(125),所以 开始 6730 180 radx/5 3 grad. 输人角度(°)n (2)利用计算器有 MODEMODE 2 输人丌的近似值P 67,"30{,,SHT|DRd=1.178097245 因此,6730≈1.178rad 180 cEntr 例2将3.14rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 解:刘用计算器 输出弧度a MODE MODE I 3.14 SHIFT|DRG2=17.908747 结束
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学4必修 因此,3.14rad≈179.909° 今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写该角所对 应的弧度数,例如,角a=2就表示a是2rad的角,sing就表示rad的角的正弦,即 in =sin 60 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表: 度0°30°45 120135150° 360 弧度 角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角 正角 正实数 的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个哪 角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图1.1-10). 负角 负实数 任意角的集合实数集R 例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 1)t=aR;(2)s=1aR2:(3)s=1R 图 其中R是半径,l是弧长,a(0<a<2m)为圆心角,S是扇形的面积 证明;由公式a|=立即可得 I=aR 下面证明(2)(3),.由于半径为R,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分 别是: nTTR TR 180 S 360 将n转换为弧度,得 于是 SstaR 由例3看出,采用弧度 将l=aR代入上式,即得 制时,弧长公式和扇形面积 公式简单了.这正是引入弧 S=xlR 度制的原因之一 例4利用计算器比较sin1.5和sn85的大小 解:由计算器 MODE MODE 2
第一章三角函数 第一章 n15=0.99986 MODEMODE 1 sin85,,=0.996194698 所 sin 1.5>>sin 85 练习 1.把下列角度化成弧度 (1)22°30' (2)-210 (3)1200° 2.把下列弧度化成度: (1) (2)=3 (3)10 3.用弧度表示: (1)终边在x轴上的角的集合; (2)终边在y轴上的角的集合 4.利用计算器比较下列各对值的大小(精确到0.01) (1)cosO.75°和cos0.75; (2)tan1.2°和tanl.2. 5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式,计算半径为1m的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度 (可用计算器) )6已知半径为10m的圆上,有一条孤的长是14m,求该弧所对的圆心角的弧度数 习题1.1 A组 1.在0-360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角: (1)-265”; (2)-1000°; (3)-843°10′; (4)3900° 2.写出终边在x轴上的角的集合 3.写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360≤B<360°的元素B写 出来: (1)60°; (2)-75; (3)-824°30′; (4)475; (5)90°; (6)270°; 7)180°; (8)0 4.分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合 ■9
CHAPTER 通高中课程标准实验教料书数学4必修 5.选择题 (1)已知a是锐角,那么2a是() (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)小于180°的正角 D)第一或第二象限角 (2)已知是第一象限角,那么是是( (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第一或第二象限角 (D)第一或第三象限角 6.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于1弧度吗?为什么? 7.把下列各角度化成弧度: (1)36° (2)-150° (3)1095°4 (4)1440 8.把下列各弧度化成度: (1)一云x (2)-19 3)14 (4) 9.要在半径OA=100cm的圆形金属板上截取一块扇形板,使其弧AB的长为112cm,求圆心角 ∠AOB是多少度(可用计算器,精确到1) 10.已知弧长50cm的弧所对圆心角为200°,求这条弧所在的圆的半径(可用计算器,精确到1cm) B组 1.每人准备一把扇子,然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后看上去形状较为美观 的扇子,并用计算器算出它的面积S (1)假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为S2,求S1与S的比值; (2)要使S与S2的比值为0.618,则扇子的圆心角应为几度(精确到10°2)? 2.(1)时间经过4h(时),时针,分针各转了多少度?各等于多少弧度? (2)有人说,钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确?请说明理由 提示:从午夜零时算起,假设分针走了tmin会与时针重合,一天内分针和时针会重合n次, 建立关于n的函数关系式,并圆出其图象,然后求出每次重合的时间,) 3.已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,当大轮转动一周时,小轮转动的角是 度,即rad.如果大轮的转速为180r/min(转/分),小轮的半径为10.5cm,那么小 轮周上一点每1s转过的弧长是 10