所以要使函数在x=1处连续，必须满足a+b=1 又因为当a+b=1时， 10=岩2， -1lima-D)-latb-Di x-1 x-1 所以要使函数在x=1处可导，必须满足a=2,此时b=-1. 8已知/三，之0求0及10，又了0是香布 -x, 解：因为 0=▣00， 0=0-m0, 而f(0)≠f(0),所以f0)不存在。 19.已知/=nxx<0求 x, x20, 解：当x<0时，f(x)=sinx,f'(x)=cosx: 当x>0时，f(x)=x,f'(x)=1: 因为0=回0=0， 0=0=0生01 x 所以f(0)=1. 从而 20.证明：双曲线y=d2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面 积都等于2a2. 解：由y=,得)=二，双曲线在任一点处的切线的斜率k=y=-
设（化，）为曲线上任一点，则过该点的切线方程为 -%=-x-, 令y=0,则-红-解得x=+5,因为6)为线北形 点，满足x。=a2,得到x=2x,为切线在x轴上的截距 同理令x=0,解得，=受+%-2，为切线在y轴上的截距 所以此切线与两坐标轴构成的三角形的面积为： S=226l2ywF2%上2a2 习题2-2 12.求下列函数的导数： (1)y=ch(shx): (2)y=shx.e; (3)y=th(Inx): (4)y=sh'x+ch'x: (5)y=h1-x2): (6) y=arsh(x2+1): (7)y=arch(e): (8)y=arctan(thx) (9) y=Inx+2cx (0)y). 解：(1)y'=sh(shx)(shx=sh(sh)chx (2)y'-chxem+shx·e·shx=e(chx+shrx) (）③rahn雨aW=xc(nx (4)y=3 sh'x.chx+2chx·shr=shx.chx·(3shx+2) a-a ⑥）r4+=+2r7 )y号 @时或)
ch2x+sh2x1+2sh2x ()ch (ch(ch 盖整整。 ch-x ch3x 10)=2(号[e(品-2)n号号j 2 13.设函数f(x)和g(x)均在点x,的某一邻域内有定义，fx)在x处可导， f)=0,g(x)在处连续，试讨论f)g()在x处的可导性. 解：f(x)g()在玉处的可导性.设y=f(x)g(x),则 =然-▣+ag+a-t， 因为fx)=0,所以 张=++的-典+0-g+4 =+四8+4-)四8k+a, 又因为g)在x处连续，所以mg6+49=g) 所以四张=g).即eg闭在处可导 14.设函数fx)满足下列条件： 1)f(x+)=f()f),对-切x,y∈R: (2)f(x)=1+g(),而1ing=1. 试证明f(x)在R上处处可导，且"(x)=f(x) 证：设y=f(x),则对任意的xeR,有： -杂=卿+@， Ax f(x+y)=f(x).f(y). 小-是四/@-=@-山 Ax Ax
f()=1+xg(x), f(4r)=1+4rg(4r), -架-典》484-四8， 又1img(c)=1, =张- 所以fx)在R上处处可导，且f()=f): 习题2-3 3.若f“(x)有在，求下列函数的二阶导数紧 (1)y=fx2): (2）)y=In[f(x)]. 解：(1)y-f(2)-(x2)y-2x(x2) y"=2f"(x2)+2xf"(x2)x2)y=2f"(x2)+4x2f(x2) 2）7afw: 4试从密}导出： 0紧= @票 解：⑩票亲上宁号培茶示 @导所前培器江}w产 (v) (v 6.密度大的陨星进入大气层时，当它离地心为s下米时的速度与√成反比 试证明陨星的加速度与s2成反比. 正明：设磷星的速度为，则有，一密 又因陨星离地心为s千米时的速度与√5成反比，所以不妨假设5=k(k 为席数，即会左对北式送铁关于束号，和
面跌经的加莲度为产·则 票() 所以陨星的加速度与s2成反比。 10.求下列函数所指定的阶的导数： (I)y=e'cosx,求y (②)y=x2sin2x,求y0 解：(1)方法一：y-e'cosx+e(-sinx)=e(cosx-sinx), y"=e"(cosx-sinx)+e"(-sinx-cos.x)=-2e"sinx, y"=-2(e'sinx+e'cosx)=-2e'(sinx+cosx), y4)=-2e'(sinx+cos.x)-2e'(cosx-sin.x)=-4e'cosx. 方法二：令4=e,v=cosx,则有 W=u"=u"=u=e', v=-sinx,v"=-cosx,v"=sinx,v4)=cosx 由莱布尼兹公式得： y=u.v+Cu".v+Cu".v"+Cu'.v+u.v =e.cosx+4e*.(-sinx)+6e".(-cosx)+4e".sinx+e".cosx =-4e'cosx (2)令u=x2,v=sin2x,则有 W'=2x,w"=2,u"=0, 4=24ssin(2x+48-)=248sin2x, 4)24 sin2x,50)=25 sin 2x. 由莱布尼兹公式得：