y0=nso.v+Cn91.v'+Cn4.v"+.+C5”.v》+C'v+Mv0 =C4+C8-9+0 50.492-2sin2r+50-2r249cos2x+x2(-250sin20 2 sin2r+50xcos2x+1225sin2x). 11.求下列函数的n阶导数的一般表达式： (1)y=x”+ax1+a,x-2+.+an-x+an(a,a2,.,a都是常数0： (2)y=sin'x:(3)y=xInx: (4)y=xe' 解：(1)y'=m+(n-I)ax"2+(n-2)ax3+.+a- y'=nn-10.x-2+(n-ln-2)a,x-3+(n-2n-3)a,x-3+.+2an-2 . ym=nn-10x-2+(m-10n-2n-3).21=nl. (2)v'=2sin xcosx=sin 2x, y"=2cos2x=2sin(2x+) y"=22cos(2r+)=2sin(2r+2 4=2c0s2x+2)=2sin(2x+3受) =2-1sin[2r+0u-0. (3)y=nx+1, y.d y"=-x2=(-1)x2, y4=(-10(-2)x3, =(←-2-3.（←n+2x(r024-(ra2
(4)y'=e+xe, y"=e'+(e'+xe')=2e'+xe", y"=2e"+(e'+xe')=3e'+xe', . yim)=ne'+xe'. 12.求函数f(x)=x21n(1+)在x=0处的n阶导数f(0)(0n≥3). 解：令4=x,v=n1+x),则有 =2x,w=2,w=w=.=w=0, -k-k=12,n, 1+x) 由莱布尼兹公式得： f(x)=C+Cu.u =m-D.2.rn3+m-2x.n-2y+2.l 1+) 0+.x) 0+x 所以0，=m n-2 习题2-4 9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 m ②)r=hl+ y=1-arctant 解ω来骨罗 会学特
1+2 10.落在平静水面上的石头，产生同心波纹.若最外一圈波半径的增大率总 是6m/5,问在2秒末扰动水面面积增大的速率为多少？ 解：设波的半径为，由己知条件知安-6。设对应圆的面积为S则 S=πr2,两边同时对t求导得 当1=2时，r=62=12. 所以空l212=14m1 1L.注水入深8m上项直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4(m/min), 当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？ 解：水深为h时，水面半径为r=),水面面积为S=x,水的体积为 v-写动-✉h吕， 对体积关于t求导，得 货晋西 由此解得 费杀出 由已知条件知北=4(m/min),当水深为5m即h=5(m)时， 染东背京4品(m/mim). 12.溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的
圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液.己知当溶液在漏斗中深为12cm时，其 表面下降的速率为lcm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ 解：设在1时刻漏斗中的水深为y,水面半径为r,圆柱形简中水深为.于 是有 }618时=9ah 由已知条件知名长得=兮代入上式得 月618-2=5h. 两边关于1求导得 京资出 当y=12时，南=-1，代入上式得 h.3 529 习题2-5 8.计算下列反三角函数值的近似值： (1)aresin 0.5002,(2)arccos0.4995. 解：(1)已知fx+4x)≈f(x)+f'(x)4x,当f(x)=arcsinx时，有 arcsin(x)aresin+ 所以 arsin0.502-an0.5+0.02)*rin0.5+7-0s0.0o02 -后+号00204r (2)已知fx+4x)≈f()+f"(x)4x,当f(x)=arccos时，有 arcos(r+Ar)arcos. 所以 arco0.095-a(-5-.00)aco.005)
-号+方0as0z 9.当较小时，证明下列近似公式： )amxx(x是角的弧度值)：（②）n1+)≈x:3)-, 并计算tan45和1nl.002的近似值. (1)已知当4x较小时，f化。+4x)=f(x)+f'(x)4r,取f(x)=ianx, x=0,4x=x,则有 tanx =tan(0+x)=tan0+sce20.x=sec0.x=x. (2)已知当|4x较小时，f(x,+4x)≈f(x)+f'(x)4x,取f(x)=lnx,x=1, 4x=x,则有 In(1+x)s Inl+(lnx)x=x. (3)已知当4较小时，f化+4x)=f(+f()4x,取f)=，x,=1, 4x=x,则有 中+-r tan45'≈45'≈0.01309 ln(1.002)=ln1+0.002)≈0.002. 11.计算球体体积时，要求精确度在2%以内.问这时测量直径D的相对误 差不能超过多少？ 解：球的体积为v=二D,d业=号D△D.因为计算球体体积时，要求精度在 2%以内，所以其相对误差不超过2%，即要求 亭H号， 所以|光号%， 也就是测量直径的相对误差不能超过%