先证明数列{x,}有界.当n=1时x=√2<2，假定n=k时x<2.当 n=k+1时， x1=√2+x<√2+2=2， 所以x,<2(n=1,2,3,),即数列{x}有界。 再证明数列单调增。 x4-x=2+元-x=2+-￡=-化-2x+00. 2+x+x 2+x+xn 即数列x,}单调增 因为数列{化，}单调增加有上界，所以此数列是有极限的. (4im+x=1: 证明：当≤1时，则有 1+x≤1+≤(1+x, 1+x21-2(1-。 从而有1-x≤+xs1+ 因为1im(1-lxD=lim+xD=1, 根据夹迅准则，有 lin=1 ⑨im]=1. 证明：因为-1<[白]s,所以1-x<x]s1.又因为m0-x)=m1=1, 根据夹通准则，有m]=1. 习题1-7 5.证明无穷小的等价关系具有下列性质： (①)aDa,自反性) (2)若aDB,则B☐a对称性)：
(3)若aDB,B口y,则a☐×传递性). 证明：()img=l,所以a0a; a (②若aA则m分-1.从而m号-.因此Ba: (3)诺a0R,B加x,img=lim.img=l.因此a0y. y 习题1-8 6证明：若函数f(x)在点x,连续且f(x)≠0，则存在x的某一邻域U(x), 当x∈U()时，fx)≠0 证明：不妨设fx)>0,因为fx)在x,连续，所以1imfx)=f(x)>0,由 极限的局部保号性定理，存在x,的某一去心邻域U(x),使当x∈U(x,)时 fx)>0,从而当x∈U(x,)时，fx)>0,这就是说，存在x,的某一邻域U(化)， 当xeU(x)时，f(x)≠0. 习题1-9 6设商数-仁.0应当如何选择致，俊得成为在 a+xx≥0 (-0,+o0)内的连续函数？ 解：要使函数fx)在(-，+∞)内连续，只须f(x)在x=0处连续，即只须 lim f(x)=lim f(x)=f(0)=a. 因为limf(c)=lime=l,limf(x)=lim(a+x)=a,所以只须取a=1. 习题1-10 4.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 fx)-f0≤Lk-儿，其中L为正常数，且f()fb)<0.证明：至少有一点 5e(a,b),使得f(5)=0. 证明设x,为(a,b)内任意一点.因为
0s limlf(x)-f(x)limLx-x0. 所以im|fx)-fx)F0, 即 lim f(x)=f(x). 因此f(x)在(a,b)内连续， 同理可证f(x)在点a处左连续，在点b处右连续，所以f(x)在[a,b1上 连续。 因为fx)在[a,b)]上连续，且f(a)f(b)<0,由零点定理，至少有一点 5e(a,b),使得f5)=0. 总习题 证明：对于任意给定的e>0,要使-￥6-5K,只需k-水G,取 x-3 6=6,当0<k-<6时.就有k-<8.即-6-5Ke,所以 x-3 m-65 x-3 14.如果存在直线L:y=+b,使得当x→0（或x→+0，x→-0）时，曲线 y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)→0，则称L为曲线y=f(x) 的渐近线。当直线L的斜率k≠0时，称L为斜渐近线。 (I)证明：直线L:y=c+b为曲线y=fx)的渐近线的充分必要条件是 (I) (2)求曲线y=(2x-1)e的斜渐近线. 证明：(1)仅就x→0的情况进行证明 按渐近线的定义，y=:+b是曲线y=f(x)的海近线的充要条件是
Iimf(x)-(+b]=0. 必要性：设y=c+b是曲线y=f(x)的渐近线，则1imf(x)-(x+b】=0, 于是有 典四-当=0→四-=0=四， 同时有1imf(x)-c-]=0→b=-lim[f(x)-. 充分性：如果=m但，b=/-则 lim[f(x)-(kx+b)]=lim[f(x)-kx-6]=lim[f(x)-kx]-b=b-6=0. 因此y=c+b是曲线y=fx)的渐近线 回调为k=m头-m2c2, 6=v-2-m2x-e-2=2▣e-)-12td+ -1=1 所以曲线y=(2x-1)e*的斜渐近线为y=2x+1
第二章导数与微分 习题2-1 11.如果fx)为偶函数，且f"(0)存在，证明f'(0)=0. 证：因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x),从而 r0=0回0-e0-fro x-0 所以有2f"(0)=0,即f"(0)=0. 14.求曲线y=e在点(0,1)处的切线方程 解：y=e, :y=e=1, 故在(0,1)处的切线方程为： y-1=1(x-0),即y=x+1. 15.在抛物线y=x2上取横坐标为x=1及七，=3的两点，作过这两点的割 线.问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解：令y=),则制线的斜率为=).9=4 3-1 2 而y'=2x,令2x=4,得x=2,又得f(2)=4. 因此抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于这条割线 17.设函数 x≤1， 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？ 解：因为 limf(x)=limx=1. lim f(x)=lim(ax+b)=a+b, f0=1