新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性微分方程组 §5.1 存在唯一性定理

线性微分方程组 为了书写方便，我们经常用向量与矩阵来研究一阶微分方程(5.1) 41u(t) a12(t) ain(t) a21(t) a22(t) A(t)= 2n(t) o.oo ●●◆ ●◆◆●。 am(t) a2(t) aun(t) (t) 1 f2(t) 七32 f(t)= x= X2 (t 根据代数上学的矩阵相加，矩阵相乘，矩阵与数的乘积，(5.1) 可以写成 x=A(t)x+f(t) (5.4) (这与我们讲过的一阶线性方程x=P(t)x+p(粒形式上 是一样的) 结束 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 根据代数上学的矩阵相加，矩阵相乘，矩阵与数的乘积， (5.1）可以写成 （这与我们讲过的一阶线性方程 在形式上 是一样的） ' x p t x t = + ( ) ( )  11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . . . . ( ) ( ) . ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =       为了书写方便，我们经常用向量与矩阵来研究一阶微分方程(5.1). 令 x A t x f t ' = + ( ) ( ) （5.4） 1 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) n f t f t f t f t       =       ' 1 ' ' 2 ' . n x x x x       =         1 2 . n x x x x       =       线性微分方程组 根据代数上学的矩阵相加，矩阵相乘，矩阵与数的乘积，(5.1） 可以写成

上线性微分方程组 引进以下概念： 设B)是一个n×矩阵，U()是一个n维列向量， b(t)）. bin(t) b21(t) b2n(t) B(t)= U(t)= b(t) bn(t) u, 如果每一个b,淘 [血通续，则称 在B(t)止连续b] 如果每一个山，（相 [姓续，则称 在U()上避续知] 如果每一个b,(和 uxt) 止可，则称 ,B(t)在U(t)上 可做，] B(t) Bi(t) 1 B2 (t) B'(t)= b2() U'()= ●eeee b() B.(t) 如果每一个b,(和 uxt) 衡积，则称 ,B(t)在U(t)上 可换，] 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 引进以下概念：设B(t)是一个 n n 矩阵，U(t)是一个n维列向量. 11 1 21 2 1 ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . . . ( ) . ( ) n n n nn b t b t b t b t B t b t b t       =       1 : ( ) : n u U t u       =       如果每一个 ( ) 在 上连续, 则称 在 B t( ) 上连续. b t ij [ , ] a b [ , ] a b 如果每一个 和 在 上可微，则称 ， 在 上 可微,且 ( ) ij b t ( ) u t i [ , ] a b B t( ) U t( ) [ , ] a b ( ) u t i 如果每一个 在 [ , ] a b 上连续，则称 在 U t( ) 上连续 [ , ] a b . 线性微分方程组 11 1 21 2 1 ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . . . ( ) . ( ) n n n nn b t b t b t b t B t b t b t            =         ' 1 ' : ( ) : n u U t u        =         如果每一个 和 在 上可积，则称 ， 在 上 可积,且 ( ) ij b t ( ) u t i [ , ] a b B t( ) U t( ) [ , ] a b

线性微分方程组 =A(t)x+f(t) (5.4) 广s0h.6.④h ∫。4()t ∫心B0t= ∫a山 .(0t∫bdd ∫n(e) 由定义不难证明，如果A(t),B(t),U(t)在[a,b]上可导，则 【i】(A(t)+B(t))=A(t)+B'(t)(u(t)+v(t)=u(t)+y'(t) 【i】(A(t)×B(t)=A(t)B(t)+A(t)B(t) 【iii】(A(t)u(t))=A'(t)u(t)+A(t)u'(t) 定义：设A(t)是a≤t长的 续矩阵，是f(t)上的连续b维向 量.若存在定义在某区间 [a,B](la,BlCla,bl) 上的连续可微维向量使得在 [止相] u(t)=A(t)u(t)+f(t) 则称U(是(5.4)在 [的B阶解 结束 帮助 <2上一面 返回下<2 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 定义：设A(t)是 上的 连续矩阵， 是 上的连续 维向 量.若存在定义在某区间 ， 上的连续可微 维向量 使得在 上有 n n [ , ]   ([ , ] [ , ])    a b a t b   f t( ) a t b   n n U t( ) [ , ]   ' u t A t u t f t ( ) ( ) ( ) ( ) = + 则称 U t( )是(5.4)在 [ , ]   的一个解 由定义不难证明，如果A t B t U t ( ), ( ), ( )在[a,b]上可导，则 【ⅰ】 【ⅱ】 ( ) ' ' ' A t B t A t B t ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ( ) ' ' ' u t v t u t v t ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ( ) ' ' ' A t B t A t B t A t B t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = + 【ⅲ】 ( ) ' ' ' A t u t A t u t A t u t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 11 1 1 ( ) . ( ) ( ) . . . ( ) . ( ) b b n a a b a b b n nn a a b t dt b t dt B t dt b t dt b t dt       =            1 ( ) : ( ) : ( ) b a b a b n a u t dt u t dt u t dt       =              线性微分方程组 x A t x f t ' = + ( ) ( ) （5.4）

线性微分方程组 (即存在一组函数41(t),2(),4(),使得 （0=a,(d0u,(0)+aa(04,0+.+an(0u.（④+f: dt (i=1,2,m) 结束 帮助

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . i i i in n i du t a t u t a t u t a t u t f dt = + + + + (i n = 1,2,., ) (即存在一组函数 u t u t u t 1 2 ( ), ( ),., ( ) n ，使得 线性微分方程组

线性微分方程组 710 称求方程组x()=A()x满忠) 的解的7 7三 720 问题称为初值问题 例：证明u() (到问题 -0小0-( 在区间 (-o,的解 解：uo-( 地处可碍.处处可鼠)且 w-(-0-00o .(是给定初值问题的解。 结束 上一贡返回下页2目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 在区间 上的解. 例:证明 ( ) 是初值问题 t t e u t e −   =     − ' 0 1 1 0 x x   =     1 0 1 x( )   =     − (− + , ) ' 0 1 1 0 1 ( ) ( ) 0 1 0 t t t t u t u t e e e e − − − −     −   = = =                 −   ∴ 是给定初值问题的解. u t( ) 称求方程组 满足 的解的 问题称为初值问题. ' x t A t x f t ( ) ( ) ( ) = + 0 x t( ) = 10 20 0 : n           =       . (0) ∵ 1 处处可导. ∴ 处处可导，且 1 u ，   =     − , t t e e − 解 − u t( ) : 线性微分方程组