4.1环的定义 加群的非空子集H是子群 Va,b∈H有a+b∈H → Va∈H有-a∈H →Va,b∈H有a-b∈H
4.1 环的定义 加群的非空子集H是子群 , - a b H a b H a H a H + 有 有 a b H a b H , - 有
4.1环的定义 设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法（用+ 表示)，另一个叫做乘法，若 1)R对加法作成一个加群， 2)R对乘法满足结合律，即对任意的α，b,c∈R, 有(ab)c=a(bc), 3)乘法对加法满足左右分配律，即对任意的 a,b,c∈R,有 a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 则称R对这两个代数运算作成一个环
4.1 环的定义 设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法(用+ 表示)，另一个叫做乘法，若 1) R对加法作成一个加群， 2) R对乘法满足结合律，即对任意的 ， 有(ab)c=a(bc)， 3) 乘法对加法满足左右分配律，即对任意的 ，有 a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca 则称R对这两个代数运算作成一个环。 a b c R , , a b c R , ,
4.1环的定义 如果环R的乘法满足交换律，即对任意的a,b∈R, 有ab=ba,则称环R为交换环，否则称R为非交 换环。 若环R只含有有限个元素，则称R为有限环，否 则称R为无限环。有限环R的元素个数称为R的 阶，无限环的阶称为无限，R的阶用R表示
4.1 环的定义 如果环R的乘法满足交换律，即对任意的 ， 有ab=ba，则称环R为交换环，否则称R为非交 换环。 若环R只含有有限个元素，则称R为有限环，否 则称R为无限环。有限环R的元素个数称为R的 阶，无限环的阶称为无限，R的阶用 表示。 a b R , R
4.1环的定义 例1：Z、Q、R、C关于数的普通加法、乘法都 是换环，无限，可换。 数域F上全体多项式集合，对多项式的普通加法、 乘法是环，无限，可换。 数域F上全体阶方阵集合，对矩阵的普通加法 乘法是环，无限，一般非交换
4.1 环的定义 例1：Z、Q、R、C关于数的普通加法、乘法都 是换环，无限，可换。 数域F上全体多项式集合，对多项式的普通加法、 乘法是环，无限，可换。 数域F上全体n阶方阵集合，对矩阵的普通加法， 乘法是环，无限，一般非交换
4.1环的定义 例2：设R是一个加群，对任意的a,b∈R,规定 ab=0,则R是一个环，称为零乘环，可换。 例3：R是整数集，规定 ab=a+b-1 aob=a+b-ab 是一个交换环
4.1 环的定义 例2：设R是一个加群，对任意的 ，规定 ab=0，则R是一个环，称为零乘环，可换。 例3：R是整数集，规定 是一个交换环。 a b R , a b a b = + −1 a b a b ab = + −