Ex:验证下列级数为莱布尼茨型级数，从而皆收敛 niey号2iram3ir0 n=l n=1 n=1 1↓+}L+(1y11+L (2) 23 n+1 1.1+11 3!5!7! +L+1),1+L;(3) (2n-1)H 1.2+3.4 000诗L-少'0.④ 前顶
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注：莱布尼茨审敛法中，"4，一"的条件不能去掉如 11 11 +L+- +L·(*) V2-1V2+1 n-1 vn+1 其通项4，®0，但不满足条件"4，一"， 于是，部分和子列： 11 V2-1V2+1 n-1o 、{s,n无上界，lims2,不存在，故级数(*)发散 前页
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二、绝对收敛级数及其性质 若级数 u +u,+L +u,+L (5) 各项绝对值组成的级数 4,+42+L+4n+L (6) 收敛，刚称原级数（⑤）为绝对收做级数 定理12.12绝对收敛的级数是收敛的. 证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对 于任意正数e,总存在正数N,使得对n>N和任意正
前页 后页 返回 收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数. 各项绝对值组成的级数 定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的. 证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对 二、绝对收敛级数及其性质 若级数
整数，有 um+um2+L+umr <e 电于 4m1十n2+L+4mr ￡|lum+4nmr2+L+amr <e 因此由柯西准则知级款（⑤）也收数. 对于级数（⑤）是否绝对收敛，可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察
前页 后页 返回 由于 因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察. 整数 r, 有
(法2)记p,=a+4,b9,=(u-4) \4n=pn-qn,0￡pn￡l4n,0￡qn￡4n Qa<￥bap,<￥且8g.<￥ pa4,-a,-<￥ n=1 推论：当au<￥时， n= ￥ u,的和数、-它的所有正项组成的级数的和数， n= 减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数
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