第一章函数与极限 25 -(x+2）= 1im(x+2) =i1+x+ 1im(1+x+x2) 四2.计算下列极限 w器 (2)im2x+ ￥2 (3)lim(2x3-x+1). 解(1)因为 2器20 lim(x-2)2 所以 - (2)因为 m2=2)-0, 所以 x2 12x+1=0 (3)因为 吗 1 =0 所以 1im(2x3-x+1)=0 巴3.计算下列极限 e2: 2)" 解)因为20(-0).m≤1，所以 仰rsn=0 (2)因为0(x一m),laretan x1<牙，所以 m=0
26 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 24.设1anl,1bn},c.均为非负数列，且lim a=0,lim b=l,limc。=x.下列陈述 中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由：如果是错的，试给出一个反例. (1)a。<bn,neN.: (2)b <cn,nEN. (3)lim ac不存在； (4)lim6,不存在. 解)错例如，=，6=后N,当a=1时，a=1>号=故对 任意n∈N,an<bn不成立. （2)错，例如6，=n中6.=(-1)n,neN.当n为奇数时6，<c不 n 成立。 （3)镇例如a京6=aneN回a6=0 （4)对.因为，若im6,c.存在，则mc。=m(6,）·im也存在，与已知条件 矛盾 四5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由：如果是错的，试 给出一个反例 （1)如果Iimf(x)存在，但img(x)不存在，那么lim[f(x)+g(x)]不存在： (2)如果imf(x)和1img(x)都不存在，那么1im[f八x)+g(x)]不存在： (3)如果imf(x)存在，但1img(x)不存在，那么limf(x)·g(x)不存在. 解(1)对.因为，若im[f(x)+g(x)]存在，则img(x)=lim[/八x)+g(x)】- m八x)也存在，与已知条件矛盾. (2)错.例如∫(x)=sgmx,g(x)=-gmx在x→0时的极限都不存在，但 (x)+g(x)=0在x→0时的极限存在. （3)结例如m=0,吗血士不存在，相x血0 2·6.证明本节定理3中的(2). 定理3(2)如果1imf八x)=A,1img(x)=B,那么 lim[f(x)·g(x)]=limf八x)·limg(x)=A·B. 证因imf(x)=A,limg(x)=B,由上节定理1，有f(x)=A+a,g(x)=B+B. 其中B都是无穷小，于是 f(x)g(x)=(A+a)(B+B)=AB+(AB+Ba+aB). 由本节定理2推论12，AB、Ba,a6都是无穷小，再由本节定理1，(AB+Ba+aB)也是 无穷小，由上节定理1，得 lim f(x)g(x)=AB lim f(x).lim g(x)
第一章函数与极限 27 习题1-6 极限存在准则两个重要极限 巴1.计算下列极限： (1)limin (2)limtan3 (3)温是 (4)lim xcot x; (5)lm1'-os2 xsin x (6)m2”血(：为不等于零的常数) 解(1)当w≠0时， -9）-w2"w: 当w=0时， 0"=0=0 故不论u为何值，均有imng=m 5x （4)motx=minco=isin∵imeosx=l. ·=x (2 巴2.计算下列极限： (1)lim(1-x)产， (2)lim(1+2x)产： 产 (4)m1-广(k为正整数). 解(1)im(1-x)÷=im[1+(-x)]向-》=e (2)im(1+2x)÷=imf(1+2x)六]2=c2. 3)-=+门=2
28 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 1- (-)(-k) =e-k. 3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则1 准则'如果 (1)g(x)≤f八x)≤h(x),xeU(xo,r): (2)lim g(x)=A,lim h(x)=A, 那么limf(x)存在，且等于A. 证Ye>0,因1img(x)=A,故381>0，当0<1x-01<,时，有 Ig(x)-A1<e,即 A-E<g(x)<A+8, (3) 又因imh(x)=A,故对上面的e>0,382>0,当0<1x-x01<d2时，有 Ih(x)-A1<E,即 A-8<h(x)<A+6. (4) 取8=minδ1,62，r,则当0<lx-xo1<6时，假设(1)及关系式(3)，(4)同时 成立，从而有 A-<g(x)≤fx)≤h(x)<A+E, 即有f代x)-A1<&.因此limf(x)存在，且等于A. 注对于x一的情形，利用极限imf(x)=A的定义及假设条件，可以类似地 证明相应的准则【 习4.利用极限存在准则证明 )+ 2▣a+n+2。+nn (3)数列2√2+2，W2+√2+2，.的极限存在： (4)m1*=1: 5)m] 证)因1<+<1+。而如11，+）1，由夹道准则，即 得证 (2)因4n≤n(+m+2后+.++s+后而i 2=1,由夹通准则，即得证。 1,im2+
第一章函数与极限 29 (3)xn+1=√2+xn(neN,),x1=2. 先证数列1x。有界： n=1时，x1=2<2:假定n=k时，x<2.当n=k+1时，x41气/2+x<√2+2= 2.故x。<2(n∈N,). 再证数列x。!单调增加： 因 x1+1-xn=√2+xn-xn= 2+n+n √2+xn+xa 由0<xa<2,得xa+1-xn>0,即xn+1>x(neN,) 由单调有界准则，即知imx。存在. 记limx。=a.由x。+1=√/2+xn,得x2,1=2+xa·两端同时取极限得 a2=2+a→a2-a-2=0→a1=2,a2=-1(舍去) 即1imx。=2. 注本题的求解过程分成两步，第一步是证明数列{x,}单调有界，从而保证数 列的极限存在：第二步是在递推公式两端同时取极限，得出一个含有极限值α的方 程，再通过解方程求得极限值a.注意：只有在证明数列极限存在的前提下，才能采用 第二步的方法求得极限值。否则，直接利用第二步，有时会导出错误的结果 (4)当x>0时，1<+x<1+x:当-1<x<0时，1+x<T+x<1.而 im1=1,lim(1+x)=l.由夹通准则，即得证 （(5)当>0时，1-<[]≤1.而m（1-)=1,m1=1.由夹道准则，即 得证 习题1-7N 无穷小的比较 四1.当x0时，2x-x2与x2-x3相比，哪一个是高阶无穷小 解因为1im(2x-x2)=0,1im(x2-x3)=0, 20 x2-x3 所以当x0时，x2-x3是比2x-x2高阶的无穷小. 22.当x0时，(1-csx)2与sin2x相比，哪一个是高阶无穷小？ 解因为1im(1-cosx)2=0,imsn2x=0, sin'x