30 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 取X=maxX1,X2},则当1xl>X,即x>X或x<-X时，就有Ifx)-A1<E 即1imf八x)=A. 巴·11.根据函数极限的定义证明：函数f(x)当x一x0时极限存在的充分必要条件是 左极限、右极限各自存在并且相等， 证必要性若Iimf(x)=A,则Ye>0,38>0,当0<1x-x1<8时，就有 If(x)-Al <8. 特别，当0<x-0<6时，有(x)-A1<8,即imf(x)=A:当0<0-x<6时 有1f八x)-AI<6,即1imf(x=A. 充分性若1imx)=A=limf(x),则廿e>0,3>0,当0<x-0<d时，就 有1f(x)-A1<e:又362>0，当0<x0-x<62时，就有/(x)-A1<6.取8= min6,62},则当0<lx-xol<6时，就有f(x)-A1<e,即Iimf八x)=A. 四12.试给出x一→时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明. 解局部有界性定理如果Iimf(x)=A,那么存在常数M>0和X>0,使得当 Ixl>X时，有f(x)I≤M. 证明如下：因为1imf(x)=A,所以对￡=1>0,3X>0,当1x1>X时，就有 (x)-A1<1,从而 lf(x)Isf(x)-Al+1AI<I+1AI, 取M=1A1+1,即有当xl>X时，(x)1≤M 习题1-4八 无穷小与无穷大 巴1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解不一定，例如)=2与风)=3都是当0时的无穷小. 号却不是当一0时的无穷小 2'2.根据定义证明： (0)y:为当3时的无穷小： (2)y=m士为当0时的无穷小 证()因为，引=-31，所以Ve>0,取5=，则当0<-31<5时 就有
第一章函数与极限 21 ,<e 即，号为当一时的无穷小 (2)因为m11,所以Ve>0,取=6，则当0<1<6时就有 sine. 即xsn上为当x一0时的无穷小 回'3根据定义证明：函数)2为当：一0时的无穷大问：应满足什么条件，能使 1y>103? 证因为2-片2≥-2要俊2到>M,只要2>。 即11<2所以VM>0,取8=2则当0<1x-01<6时，就有2>M。 即+2“为当x0时的无穷大. 令0取50当0<-01o+2,做能楼 注在本题的证明中，采取先将1=之等价变形，然后适当第小，使 缩小后的量大于M,从而求出8这种方法在按定义证明函数在某个变化过程中为无 穷大时，也是经常采用的 巴4.求下列极限并说明理由： a)52 2) 解02=m2+)-2 理由：由定理2，为当一时的无穷小：再由定理1，一？+）-2 2)1+)= 理由：由定理1，lim(1+x)=1. ©5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表：
22 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 fx)→A fx)→ fx)一+∞ f代x）+-3 Ve>0,38>0 VM>0,38>0 VM>0,36>0, M>0,36>0 使当0<1x-x。 使当0<Ix-x。 使当0<1x-x。 使当0<1x-x。 <8时，即有 <8时，即有 <8时，即有 <8时，即有 f(x)-AI<E 1x)1>M (x)>M. f(x)<-M. HE>0.38>0 VM>0.38>0. HM>0.38>0 H1M>0.38>0. 使当0<x-x。< 使当0<x-和< 使当0<x-x。< 使当0<x-x。<6 8时，即有 6时，即有 6时，即有 时，即有 (x) -Al<8 x)< >0.38>0 V1M>0.38>0. HM>0.38>0 H1M>0.38>0 使当0>x 0> 使当0>x 使当0>x 使当0>x x0> -6时，即有 -6时，即有 -6时，即有 -8时，即有 lf（x)-AI<E. If(x)I>M. (x)M. x)<-M e>0,3X>0 M>0,3X> 使当>时.0.使当xX0,使当11>x M>0,3X>0 使当1x>X时 即有 时，即有 时，即有 即有 Ix)-A1 <6. 1(x)1>M. fx)>M. f(x)<-M. Ve>0,3X>0. VM>0.3X> HM>0.3X> ￥M>0.3X>0 使当x>X时，0，使当x>X时， 0.使当x>X时 使当x>X时， 即有 即有 如有 即右 If（x)-AI<B. f(x)I>M. f(x)>M. f(x)<-M. H6>0.3X>0. VM>0.3X> VM>0.3X> 使当x<-X时，0，使当x<-X0,使当x<-X M>0.3X>0.使 当x<-X时，即有 即有 时即右 时，即有 If(x) -AI <E. x)1>M. x)>M. x)<-M. 巴6.函数y=xC0sx在(-，+)内是否有界？这个函数是否为x++时的无穷 大？为什么？ 解因为HM>0,总有x0∈(M,+0),使cosx0=1,从而y=0cosx0=x0>1, 所以y=xc0sx在(-，+∞)内无界， 又因为VM>0,X>0,总有0e(X,+∞)，使cosx0=0,从而y=x0cos0=0<M,所 以y=f八x)=xcos x不是当x一+∞时的无穷大。 回7.证明：函数y=m上在区间(0,1门内无界，但这函数不是x0时的无穷大 1 证先证函数y= sin 在区间(0，门内无界
第一章函数与极限 23 因为HM>0,在(0,1]中总可找到点x0,使f(xo)>M.例如，可取xo= 1一(k +号 N),则o)=2m+三，当k充分大时，可使o)>M.所以y=in在(0,1]内无界。 再证函数y=x)=!m上不是x0*时的无穷大. 因为HM>0,6>0,总可找到点0，使0<x0<6,但f(xo）<M.例如，可取x0= 2（eN,),当k充分大时.0<0<6.但八)=2in26m=0<M.所以 y=}m不是x0*时的无穷大 西8.求函数八)=2一。的图形的渐近线 4 解因为im(x)=0,所以y=0是函数图形的水平渐近线. 因为limf(x)=”,1imf(x)=2,所以x=-√2及x=√2都是函数图形的铅直 渐近线 习题1-5Y 极限运算法则 21.计算下列极限： )23 e学品 (3)im2-2+1 x2-1 (5)mx+h)2-x2 h o2-+) x2-1 (7)1m2x2-x-了 (8)im-32+ (10)m1+2-)月 )+2+号++2：(2)123+a-山 n2 (13)1imn+l)n+2)(n+3, (14)m-x1- 1 3 9 m(x-3)7=-9
24 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 号g o-品 (x-1)2 n42-2z+1im(42-2x+1)1 3x2+2x lim(3x+2)=2 （s)回+2-22》=g(2x+=2 h 602-2-时=2-002 m司 =im。m2+3 x2+x 00 o品- 0)1+2-=1+)2-)-12=2 12 w哈安罗司 =21-2 )23- n 3)=a2a3》=+1++ 5n3 =1+1+21+ )3 (x-1)(x+2)