第四节 第七章 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 第七章
一、一阶线性微分方程 阶线性微分方程标准形式： +P(x)y=Q(x) dx 若Qx)=0,称为齐次方程； 若Q(x)丰0，称为非齐次方程 1.解齐次方程 dy+P(x)y=0 d 分离变量 dy-Pds 两边积分得 Iny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce-fP(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d = 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.解非齐次方程 +P(x)y=Q(x) dx 用常数变易法作变换x=()eP(x)dx,则 u'e-P(dx e-0(x) du 即 =Q)ef dx 两端积分得 u=∫x)ddx+C 放原方程的通解y=eR[Q()eod+G 即 齐次方程通解 非齐次方程特解 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束
对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + = + − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.解方程 dy 2y dx x+1 =(+1)为 解：先解 dy_2y =0,即 dy=2dx dx x+1 y x+l 积分得lny=2lnx+1+lnC,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=u(x)(x+1)2,则 y=0'(x+1)2+2u-(x+1) 代入非济次方程得W=(x+1)为 解得 u=x+1)2+C 故原方程通解为y=c+[x+)产+C] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结束
例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y = u x + + u x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.有一电路如图所示，其中电源 电动势为E=Em sin@t,电阻R和电 感L都是常量，求电流i(t). 解：列方程.由回路电压定律 在闭合回路中，所有支路上的电压降为0 已知经过电阻R的电压下降Ri 经过的电压下降 t 因此有E-L-R1=0, 即 di R. E sin@t m dt d t L 初始条件：i,=0=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例2. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 ∼ L E R K 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压下降R i 经过 L的电压下降 t i L d d 因此有 0 , d d − − Ri = t i E L 即 L E t i L R t i m sin d d + = 初始条件: 0 i t = 0 = 由回路电压定律: 其中电源 感 L 都是常量, 求电流 机动 目录 上页 下页 返回 结束