第七节 第七章 常系数齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章
二阶常系数齐次线性微分方程 y”+py'+qy=0(p,q为常数) 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子 所以令①的解为y=e'x(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x =0 r-+pr+q=0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 1.当p2-4q>0时，②有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：片=e1x,y2=e 因此方程的通解为y=C,ehx+C2e2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p − q 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.当p2-4q=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =号，则微分方程有一个特解1=e1 设另一特解y2=y1u(x)=e1'u(x) (u(x)待定 代入方程得： è[(+2r+2)+pu+r)+q4]=0 W"+(2r+p)4+(+pr+q)u=0 注意1是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xe1x,因此原方程的通解为 y=(CI+C2x)ex HIGH EDUCATION PRESS 返回结束
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.当p2-4q<0时，特征方程有一对共轭复根 n=a+iB,n=a-iB 这时原方程有两个复数解 ye()x=e(cosBx+isinBx) y2=e(-i)x=eax(cos Bx-isin Bx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解 =(M+y2)=e2xcosβx 2()=es sin Bx 因此原方程的通解为 y=e (C]Cos Bx+C2 sin Bx) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 当 4 0 2 p − q 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 + = e (cos x i sin x ) x = + i x y e ( ) 2 − = e (cos x i sin x ) x = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x = cos e x x = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结： y”+py'+qy=0(p,q为常数) 特征方程2+pr+q=0,特征根：n,2 特征根 通 解 1≠乃实根 y=Cien*+Cze"* 1=2=-号 y=(C]+C2x)e"x 1,2=a±iB y=e*(C cos Bx+C2 sin Bx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目司 下页返回结束
小结: y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束