第一章函数与极限 要7小水只器<甲>所以V:>0叫不特设<宁)取 √2E -岩则当>N时，就有k,即口 （4）因为0299-1=过，要俊10四9-11<6，只要。<，即 n>g。所以Ve>0(不妨设e<1).取N=[g]则当a>N时，就有099-11< e,即1im0.9999=1. 6.若im4n=a,证明imlu1=1al.并举例说明：如果数列11xn1有极限，但数列 x。|未必有极限. 证因为imu,=a,所以Ve>0,3N,当n>N时，有1u,-al<8,从而有 llu,I-lall≤lu-al<e, 故1 imlu=lal. 但由im“。1=1al,并不能推得1im“。=a.例如，考虑数列1(-1)“，虽 然im1(-1)1=1,但1(-1)"没有极限. ‘7.设数列1xn有界，又imyn=0,证明：lim x=0. 证因数列xn1有界，故3M>0,使得对一切n有1xn1≤M.Ve>0,由于lim y= 0,故对e1=行>0,3N,当n>N时，就有1，<1=行从而有 1。-01=,1ly,1<M·=e 所以 lim y=0. 2'8.对于数列x。,若x24-1→a(k一)，x2→a(k一x),证明：*n一a(n一) 证因为24-1→a(k一)，所以e>0,3k1,当k>k,时，有1x2-1-a<c;又 因为x21→a(k一→0)，所以对上述6>0,3k2,当k>k2时，有1x2-a<E, 记K=max{k1,k2,取N=2K,则当n>N时，若n=2k-1,则 k>k+>klx-al =lz2-1-al<e, 若n=2k,则 k>K≥k2→lxn-al=lx2-al<e 从而只要n>N,就有lxn-al<,即limx。=a
16 一、《高等数学)（第七版）上册习题全解 习题1-3 函数的极限 四1.对图1-8所示的函数八x),求下列极限，如极限不存在，说明理由 (1)lim f(x) (2)lim f(x); (3)limf八x). 解(1)1imf(x)=0. (2)imf(x)=-1. (3)1im(x)不存在，因为0*)≠f(0). 购2.对图1-9所示的函数f(x),下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ 图1-8 图1-9 (1)limf八x)不存在； (2)limf(x)=0: (3)limf(x)=1: (4)limf(x)=0: (5)Iimf八x)不存在； (6)对每个x。∈(-1,1)，limf八x)存在， 解(1)错，limf(x)存在与否，与f(0)的值无关.事实上，limf八x)=0 (2)对，因为f0+)=f(0-)=0. (3)错，lim八x)的值与f(0)的值无关 (4)错，1)=0，但f1-)=-1,故1imf(x)不存在 (5)对，因为f代1)≠1+). (6)对. 四3.对图1-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的
第一章函数与极限 17 py=f(x) 12 图1-10 (1)limf(x）=1: (2)imf(x)不存在 (3)lim/x)=0: (4)limf(x)=1: (5)limf(x)=1: (6)limf八x)=0: (7)l1imf(x)=0: (8)limf(x)=0, 解(1)对。 (2)对，因为当x<-1时，x)无定义 (3)对，因为(0+)=f(0-)=0. (4)错，1imf(x)的值与f八0)的值无关 (5)对 (6)对. (7)对 (8)错，因为当x>2时，八x)无定义，f(2+)不存在. 西4.求x)=三，()=当x一→0时的左，右极限，并说明它们在x一0时的极限是 否存在。 解imx)=lim文=lim1=1,im八x)=im文=lim1=l. 因为limf(x)=1=limf(x),所以imf(x)=1. 因为imp(x)≠imp(x),所以imp(x)不存在。 2‘5.根据函数极限的定义证明： (1)lim(3x-1）=8: (2)1im(5x+2)=12:
18 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 2 解(1)因为 1(3x-1)-81=13x-91=31x-31, 要使1(3x-1)-81<&,只要1x-31<号，所以Ye>0,取6=号，则当0<1x-3引<6 时，就有1(3x-1)-81<s,即1im(3x-1)=8. (2)因为 1(5x+2)-121=15x-101=51x-21, 要使1(5x+2)-121<8,只要1x-21<亏，所以e>0,取6=亏，则当0< 1x-21<6时，就有1(5x+2)-121<6,即1im(5x+2)=12. (3)因为x→-2，x≠-2， -4刘小e1-2-01+211- 要使 ,(小 只要1x-(-2)1<6,所以e>0,取6=E,则当0<1x-(-2)1<6时.就有 2-0 即m4 4)因为≠- -21-2-=2- 要使 -2e 只要-(-)<气，所以Ve>0,取8=号则当0<-(-)<8时.就有 -2 甲2 回'6.根据函数极限的定义证明：
第一章函数与极限 19 (2)1hmsn=0 运)因为若要使量只要 1 1 2<6.即11>方所以Ve>0,取方2则当1>时，蔬有 景脚景分 >0则当>时接用=爱 7.当x一→2时，y=x2→4.问6等于多少，使当1x-21<6时，1y-41<0.001? 解由于x一→2，lx-21-0,不妨设1x-21<1,即1<x<3. 要使1x2-41=1x+211x-21<51x-21<0.001,只要 1x-21<001=0.0002, 取6=0.0002，则当0<1x-21<8时，就有1x2-41<0.001. 注本题证明中，先限定1x-21<1,其日的是在1x2-41=1x+211x-21中， 将1x+21放大为5，从而去掉因子x+2引，再令51x-21<,由此可以求出1x-21< 号，从而找到6.这在按定义证明极限时，也是经常采用的一种方法。 面发当时L同等于多珍使当>时-l<0 期国为}台要俊，-小00，只要酷 0.01,即1x1>20,取X=20,则当1x1>X时，就有1y-11<0.01. 29.证明函数八x)=|x1当x→0时极限为零. 证因为11x1-01=1x1=1x-01,所以He>0,取8=c,则当0<1x-01< 6时，就有1lx-01<6,即1imlx=0. 210.证明：若x一+及x一-时，函数f(x)的极限都存在且都等于A,则 lim f(x)=A. 证因为imx)=A,所以Y8>0,3X>0,当x>X,时，就 有/(x)-A1<E 又因为imf(x)=A,所以对上面的e>0,3X2>0,当x<-X2时，就有 If(x)-AI<E