0 一、《高等数学)（第七版）上册习题全解 架当0≤1≤1时.5()=， 当1<1≤2时01-2-02=-2+21-1 当t>2时，S(t)=1. 故 0≤1≤1， 500-2+2-1.1<162, 1, 1>2. 四16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求 (1)90F的等价摄氏温度和-5©C的等价华氏温度： (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果 存在，那么该温度值是多少？ 解设F=mC+b,其中m,b均为常数. 因为F=32°相当于C=0°，F=212相当于C=100°，所以 b=32, m-212-32-1.8 100 故F1.8C+32或C=g(F-32 (1)F=90,G=号(90-32)=32.2 C=-5°，F=1.8×(-5)+32=23 (2)设温度值1符合题意，则有 1=1.81+32,1=-40 即华氏-40°恰好也是摄氏-40°. 四17.已知Rt△ABC中，直角边AC,BC的长度分别为20,15，动点P从C出发，沿三角 形边界按C→B一A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A一B方向移 动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点 P移动的距离为x,△CPQ的面积为y,试求y与x之间的函数关系. 解因为AC=20.BC=15,所以，AB=√202+152=25. 由20<2·15<20+25可知，点P、Q在斜边AB上相遇. 令x+2x=15+20+25,得x=20.即当x=20时，点P,Q相遇.因此.所求函数的 定义域为(0,20). (1)当0<x<10时，点P在CB上，点Q在CA上（图1-5）
第一章函数与极限 11 由1CP1=x,ICQ1=2x,得 y=x2. (2)当10≤x≤15时，点P在CB上，点Q在AB上（图1-6） 1CP1=x,1AQI=2x-20. 设点Q到BC的距离为h,则 52 25 得h=(45-2x).故 y=7h=号(45-2)=-号2+18x (3)当15<x<20时，点PQ都在AB上（图1-7）. 图1-5 图1-6 1BP1=x-15,1AQ1=2x-20, 1PQ1=60-3x 设点C到AB的距离为h',则 -15:20-12. 得 y=21PQ1·h=-18x+360. 综上可得 0<x<10, Y= 10≤x≤15， -18x+360, 15<x<20 18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据①以及指数模型来推测2020年 的世界人口. ①这甲世界人口数据是指每年年中的人口数
12 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 年份 人口数（百万） 年增长率(%】 2008 6708.2 1.166 2009 6786.4 1.140 2010 6863.8 1.121 2011 6940.7 1.107 2012 7017.5 1.107 2013 7095.2 解由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是1.1%.于是，在2008 年后的第t年，世界人口将是 p(t)=6708.2×(1.011)'(百万) 2020年对应t=12,于是 p(12)=6708.2×(1.011)2=7649.3(百万)=76（亿）. 即推测2020年的世界人口约为76亿 习题1-2 数列的极限 四1，下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察x的变化 趋势，写出它们的极限： 岛 2){-)} )*} e}: (5){n(-1)"}: ){a-} (8){(-+1 解（1)收敛，i2=0 (2)收敛m(-1)片=0 (3)收敛，im2+司)=2 (4)收敛1 (5)1n(-1)"1发散
第一章函数与极限 13 （6)收敛=0 )-}发敢 (8){(-+1}发散 四2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？ (2)无界数列是否一定发散？ (3)有界数列是否一定收敛？ 解(1)必要条件 (2)一定发散. (3)未必一定收敛，如数列1(-1)“1有界，但它是发散的 四3.下列关于数列{x的极限是口的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的 试说明理由：如果是错的，试给出一个反例. (1)对于任意给定的E>0,存在N∈N,当n>N时，不等式x。-a<e成立： (2)对于任意给定的e>0,存在N∈N,当n>N时，有无穷多项xm,使不等式 lx。-al<e成立： (3)对于任意给定的8>0，存在NeN,当n>N时，不等式1x。-al<ce成立 其中c为某个正常数： (4)对于任意给定的meN.,存在NeN.当a>N时，不等式1，-a1<日 成立 解（)错误如对数列(-1)+}=1.对任给的e>0(设e<1),存在N= [日]，当>N时.(-1+女1≤<c,但(-1)+}的极限不存在 (2)错误.如对数列 n. n=2k-1, 11 7n=26, keN.,a=1. 对任给的e>0(设c<1),存在N=[日引当>N且n为偶数时，1k-a1=。<c 成立，但x。的极限不存在. (3)正确.对任给的E>0,取二e>0,按假设，存在N∈N,当n>N时，不 等式1x,-al<c·上e=B成立
14 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 (4)）正确，对任给的>0，取m∈N.,使。<么按假设，存在NeN,当n>N 时，不等式x,~al<<成立 回4.设数列x,的一般项x,=0问m,=?求出N,使当n>N时，与其 极限之差的绝对值小于正数&.当ε=0.001时，求出数八. 解lim=0.证明如下： 因为 ,-01=w2s 要使1，-01<，只要<s,即a>所以Ve>0(不纺设e<1),取N-[白]，则 当n>N时，就有lx。-01<e. 当e=001时，取N=月]-100.即若e=0.01,只要n>100.就有 1x。-01<0.001 四‘5。根据数列极限的定义证明： )m2=0: (3)m+a-l:(4)n099=l n 正0)因为要使卡-0-宁c,只要>法所以：>0不访段6 取N=[启月则当a>N时，就有片-0<e,即m0 (2因为品品号-分要使引c风要对站<用 >质以Ve>0(不纺设<对)：取N=小，则当n>V时，藏有 注本题中所采用的证明方法是：先将1x。-a等价变形，然后适当放大，使N容易 由放大后的量小于ε的不等式中求出.这在按定义证明极限的问题中是经常采用的， (3)当a=0时，所给数列为常数列，显然有此结论.以下设a≠0.因为 +a-1-+a2-n. a2 a n n a(vn ta in)2n3