解 因为Q(x)=x+x4-5x3-2x2+4x-8=(x - 2)(x + 2)(x - x+1)Bx+CAAA所以 R(x)=x-2 x+2 (x+2)2 x2 -x+1两边乘以Q(x),得到2x4 - x3 +4x2 + 9x -10= A,(x+2)(x -x+1)+ A(x -2)(x+2)(x - x+1)+A,(x - 2)(x2 -x+1)+(Bx +C)(x - 2)(x+2)前页后页返回
前页 后页 返回 = + − + + − + − + 2 2 2 0 1 A x x x A x x x x ( 2) ( 1) ( 2)( 2)( 1) = + − − + − 5 4 3 2 解 因为Q x x x x x x ( ) 5 2 4 8+ = + + + − + + − + 0 1 2 2 2 ( ) , 2 2 ( 2) 1 A A A Bx C R x x x x x x 所以 两边乘以Q x( ), 得到 ( 2)( 2) ( 1). 2 2 = x − x + x − x + 4 3 2 2 4 9 10 x x x x − + + − + − − + + + − + 2 2 2 A x x x Bx C x x ( 2)( 1) ( )( 2)( 2)
比较同次项系数，得到线性方程组x的系数A, + A + B= 23A,-A, +A, +2B+C=-1 x3 的系数A,-3A -3A, -4B+2C=4 x2的系数x的系数4A +3A, -8B-4C = 9常数项4A, -4A -2A, -8C =-10解得 A, =1, A = 2, A, =-1, B=-1, C=1.于是完成了R(x)的部分分式分解：121x-1R(x) =x2-x+1x-2 x+2 (x-2)2前页后页返回
前页 后页 返回 比较同次项系数, 得到线性方程组 4 0 1 3 0 1 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 2 3 2 1 3 3 4 2 4 4 3 8 4 9 4 4 2 8 10 A A B x A A A B C x A A A B C x A A B C x A A A C + + = − + + + = − − − − + = + − − = − − − = − 的系数 的系数 的系数 的系数 常数项 解得 1, 2, 1, 1, 1. A0 = A1 = A2 = − B = − C = . 1 1 ( 2) 1 2 2 2 1 ( ) 2 2 − + − − − − + + − = x x x x x x R x 于是完成了R(x) 的部分分式分解:
二、有理真分式的递推公式任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和：Lx + Mdx(i)(ii)dx (p2 - 4q <0)(x?K + px+q)a)下面解这两类积分k =1,In|x-a|+C,dx(i)1(1-k)(x-a)-+C, k>1.a)后页返回前页
前页 后页 返回 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 d (i) ; ( )k x x a − 2 2 (ii) d ( 4 0). ( )k Lx M x p q x px q + − + + 二 、有理真分式的递推公式 1 ln | | , 1, d (i) 1 , 1. ( ) (1 )( ) k k x a C k x x a C k k x a − − + = = − + − − 下面解这两类积分. 式的不定积分之和：
(i) 令t=x+号,r=q-,N=M-L,则22Lx + MLt + Ndx:di-(r+ px+g)rd+ry(t2dt-Lletry+N(t2+r)k=1 时,dt=,In(r +r")+c,dt=-arctan- +C.12后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 2 2 d d . ( ) ( ) k k t t L t N t r t r = + + + k = 1 , 时 2 2 d 1 arctan . t t C t r r r = + + 2 2 2 d d ( ) ( ) k k Lx M Lt N x t x px q t r + + = + + + 2 2 2 2 1 d ln( ) , 2 t t t r C t r = + + + (ii) , 2 p 令 t x = + 2 2 , , 4 2 p pL r q N M = − = − 则
k≥2时,1dt一,则记-+rydt福dt返回前页后页
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 d( ) 1 d . ( ) 2 ( ) 2(1 )( ) k k k t t r t C t r t r k t r − + = = + + + − + = + 2 2 d , ( ) k k t I t r 记 则+ − = + 2 2 2 2 2 2 1 ( ) d ( ) k k t r t I t r t r = − − + 2 2 2 2 2 1 1 1 d ( ) k k t I t r r t r k 2 , 时