上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 根据曲线积分存在的充分条件， 当曲线L上的分点个数无穷增加，且小弧段长度的 最大值趋于0时上面的四个式子分别有极限： u)dx.v(x)dv.du,)dy, 这时，我们说原和式有极限 ,fe)=∫，[x,yd-x)+可，[(3)d+x,yy 定理（可积的充分条件）：设fz是曲线 L上的连续函数，则积分∫f(a)d 一定存在
这时，我们说原和式有极限 ( , )d , ( , )d , ( , )d , ( , )d , ∫L ∫L ∫L ∫L u x y x v x y y v x y x u x y y ( )d [ ( , )d ( , )d ] i [ ( , )d ( , )d ] L L L f z z uxy x xy y xy x uxy y = −+ + ∫∫ ∫ v v 定理（可积的充分条件）: 设 f(z) 是曲线 L 上的连续函数，则积分 一定存在。 ( )d L fz z ∫ 根据曲线积分存在的充分条件， 当曲线L上的分点个数无穷增加，且小弧段长度的 最大值趋于0 时上面的四个式子分别有极限：
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 积分变量代换法计算积分 设L是（分段）光滑简单曲线：x=p(t),y=(t(t≤t≤T)」 且t,及T相应于z及2m,则上式右边的积分可变形. 例如 ∫ux,y月dr=ju(o(),p0o0)dt 因此， Jf(z)d=-[Ip.)+iv(g.g()+ig()Jdt. 把dz形式地换成微分，就直接得到上式， 因此 f(2)dz-f(((
设L是(分段)光滑简单曲线： 且 ，则上式右边的积分可变形. 例如 因此, ( ), ( )( ), x = ϕ t y = φ t t0 ≤ t ≤ T n t 及T相应于z 及z 0 0 0 ( , )d ( ( ), ( )) '( )d T L t uxy x u t t t t = ϕφϕ ∫ ∫ ( )d [ ( , ) ( , )][ '( ) '( )]d . 0 f z z u iv t i t t T L t = ϕ φ + ϕ φ ϕ + φ ∫ ∫ 把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此 f z z f z t z t t T L t ( )d ( ( )) '( )d 0 ∫ ∫ = 积分变量代换法计算积分
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 3.1.3复积分的性质 设孔z)及g(z)在简单曲线L上连续，则有 (1)f(z)d=rf(z)d,其中是一个复常数 (2)[fe)±g(zz=Jfe)t±g(e)d. 3)fed:=e地+，fet++.fe地 其中曲线L是由光滑的曲线L,L2,,Ln连接而成
设f(z)及g(z)在简单曲线L上连续，则有 （1） （2） α ( )d α ( )d ,其中α是一个复常数. ∫ ∫ = L L f z z f z z [ ( ) ( )]d ( )d ( )d . ∫ ∫ ∫ ± = ± L L L f z g z z f z z g z z （3） 其中曲线L是由光滑的曲线 连接而成. ∫ ∫ ∫ ∫ = + + + L L L Ln f (z)dz f (z)dz f (z)dz ... f (z)dz 1 2 L L Ln , ,..., 1 2 3.1.3 复积分的性质
上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (4) j,faz=-∫f(z)d L为L的负向曲线. (5)积分的模不大于被积函数模的积分，即 ,fede国elas 这里ds表示弧长的微元
(4) L- 为 L 的负向曲线． (5)积分的模不大于被积函数模的积分，即 这里ds表示弧长的微元。 ( )d ( )d L L fz z fz z − = − ∫ ∫ ( )d ( ) d ( ) d LL L fz z fz z fz S ≤ = ∫∫ ∫ ≤ 11 1 () () () nn n kk k k k k kk k fz f z f S ζζ ζ = = = ∑∑ ∑ ∆≤ ∆≤ ∆
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (6)积分估值定理：若沿曲线L, f连 续且f在L上满足If()M, 则 f(2)dMI 其中 1为曲线L的长度
(6)积分估值定理: 若沿曲线 L， f(z) 连 续且 f(z) 在 L上满足 则 其中 l 为曲线 L 的长度． f z z Ml L ≤ ∫| ( )d | | f (z) |≤ M