§4函数的幂级数展开 Taylor级数与余项公式 假设函数f(x)在x0的某个邻域O(x,r)可表示成幂级数 f(x)=∑an(x-x0)”,x∈O(x,r), 即∑an(x-x)在O(xo,r)上的和函数为f(x)。根据幂级数的逐项可导 性,f(x)必定在O(x,r)上任意阶可导,且对一切k∈N, f(x)=∑m(n-1)…(n-k+1)an(x-x)
Taylor 级数与余项公式 假设函数 xf )( 在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)可表示成幂级数 xf )( = ∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa ，x∈O( 0 x , r)， 即∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa 在 O( 0 x , r)上的和函数为 xf )( 。根据幂级数的逐项可导 性， xf )( 必定在 O( 0 x , r)上任意阶可导，且对一切k + ∈N ， )( = )( xf k ∑ ∞ = − −+−− kn kn n xxaknnn )()1()1( " 0 。 §4 函数的幂级数展开
令x=x0,得到 ,k=0,1,2 k! 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 xn的 Taylor系数
令 0 = xx ，得到 a k = ! )( 0 )( k xf k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛ an ｝由和函数 xf )( 唯一确定，我们称它们为 xf )( 在 0 x 的 Taylor 系数
令 x=x0, 得到 k=0.1 k! 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 xn的 Taylor系数。 反过来,设函数f(x)在x的某个邻域O(x,n)上任意阶可导,则 可以求出它在x的 Taylor系数an (n=02,…),并作出幂级 数 (X 这一幂级数称为f(x)在x0的 Taylor级数
反过来，设函数 xf )( 在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 可以求出它在 0 x 的 Taylor 系数 an = ! )( 0 )( n xf n （n = ,2,1,0 "），并作出幂级 数 ∑ ∞ = − 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf , 这一幂级数称为 xf )( 在 0 x 的 Taylor 级数。 令 0 = xx ，得到 ak = ! )( 0 )( k xf k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛an ｝由和函数 xf )( 唯一确定，我们称它们为 xf )( 在 0 x 的 Taylor 系数
(n) 问题:是否一定存在常数p(0<≤r),使得∑(x-x)在 n=0 n Ox,p)上收敛于f(x) 下面的例子告诉我们,答案并不是肯定的。 例10.4.1设 f( e X≠0 0,x=0, 当x≠0时, 46 e f(x)=Pk-le 其中P,()是关于l的n次多项式
问题：是否一定存在常数ρ（0 < ρ ≤ r ），使得∑ ∞ = − 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf 在 0 O x(,) ρ 上收敛于 xf )( ? 下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。 例 10.4.1 设 xf )( = ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠ − ,0,0 ,0,e 21 xx x 当 x≠0 时， ′ xf )( = 2 1 3 e 2 x x − ， ′′ xf )( = 2 1 46 e 64 x xx − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − ， …… )( = )( xf k 2 1 3 e 1 x k x P − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ，…… 其中 uP )( n 是关于 u 的 n 次多项式
由此可以依次得到 f(0)=lim f(x)-f(0) im e x =o, x→ x x→0x f(0)=lim f∫"(x)-f(0 Im x→ (k-1) (X (k-1) f(0)=lim 0 因此f(x)在x=0的 Taylor级数为 0+0x+-x2+-x3+…+xn+ 2! n 它在(-∞,+∞)上收敛于和函数Sx)=0。显然,当x≠0时, Sx)≠f(x) 这说明,一个任意阶可导的函数的 Taylor级数并非一定能收敛于 函数本身
由此可以依次得到 f ′ )0( = 0 limx→ x − fxf )0()( = 0 lim x→ 2 1 e 1 x x − = 0， f ′′ )0( = 0 limx→ x ′ − fxf ′ )0()( = 0 lim x→ 2 1 4 e 2 x x − = 0， …… )0( = k )( f 0 limx→ x fxf k k )0()( − )1( − )1( − = 0 limx→ 21 23 e 1 x k x P − − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = 0， …… 因此 xf )( 在 x = 0 的 Taylor 级数为 " x n ++++++ " n xxx ! 0 !3 0 !2 0 00 2 3 ， 它在 −∞ +∞),( 上收敛于和函数 S(x) = 0。显然，当 x≠0 时， S(x) ≠ xf )( 。 这说明，一个任意阶可导的函数的 Taylor 级数并非一定能收敛于 函数本身