于 yo+△y)-f(x,y) 2Vxr o,yo )Ax2+2f(o, yo )AxAy+f,(xo, yo )Ay+aAx+2BAxAy+yay p2Vx(x,y)2+2fn(x,y)7+fm(x0,y0)2+o(1) (p→0), 其中5 △x 7 由于22+n2=1,因此,判断f(x0,y)是否为极值的问题就转化为 判断二次型 8(5,m)=fn(x0,y)32+2/(x0,y)57+f(x0,y2 在单位圆周 S=(5,m)∈R252+n2=1 上是否保号的问题
于是 { } 2 2 2 00 00 2 00 0 0 00 ),(2),( ),( 2 21 ),(),( yyxxyyxfyxyxfxyxf yxfyyxxf = xx +Δ xy +ΔΔ yy Δ+ΔΔ+Δ+Δ +Δ+ Δ − γβα { )1(),(),(2),( } 21 2 00 00 2 00 2 oyxfyxfyxf = ρ xx ξ + xy ξη + yy η + ρ → )0( ， 其中 ρ η ρ ξ Δyx = Δ = , 。 由于 1 22 ηξ =+ ，因此，判断 ),( 00 yxf 是否为极值的问题就转化为 判断二次型 2 00 00 2 00 ηξ = xx ξ + xy ξη + yy yxfyxfyxfg ),(),(2),(),( η 在单位圆周 S ),{( }1 222 R ηξηξ =+∈= 上是否保号的问题
若二次型g(,m)是正定的,那么g(,m)在S上的最小值一定满足 min{g(2,)}=m>0。 (,)∈ 因此当p≠0且p充分小时, f(x+Ax, yo +Ay)-f(ro, yo) 303f(xy0)2+2J(x,形)7+fm(x,ym2+0( ≥p2{m+o(1)}>0 即f(xny)为极小值
若二次型g ξ η),( 是正定的，那么g ξ η),( 在 S 上的最小值一定满足 (,) min {g m (,)} 0 ξ η ξ η ∈ = > S 。 因此当ρ ≠ 0且 ρ 充分小时， { } { } 0 0 00 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) (, ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x xy y f x y f xy f xy f xy o m o ρξ ξη η ρ +Δ +Δ − = + ++ ≥ +> 即 ),( 00 yxf 为极小值
若二次型g(,n)是正定的,那么g(,m)在S上的最小值一定满足 min{g(5,m)}=m>0。 (,n)∈S 因此当p≠0且p充分小时, f(x+Ax, yo +Ay)-f(ro, yo) 3o2{f(x,2+2(x)5+(x)2+0( ≥p2{m+o(1)}>0 即f(xny)为极小值 类似地,若二次型g(,m)为负定的,那么f(x,y)为极大值。 若二次型g(,m)是不定的,同样易知∫(x03y)既不是极大值,也 不是极小值
若二次型g ξ η),( 是正定的，那么g ξ η),( 在 S 上的最小值一定满足 (,) min {g m (,)} 0 ξ η ξ η ∈ = > S 。 因此当ρ ≠ 0且 ρ 充分小时， { } { } 0 0 00 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) (, ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x xy y f x y f xy f xy f xy o m o ρξ ξη η ρ +Δ +Δ − = + ++ ≥ +> 即 ),( 00 yxf 为极小值。 类似地，若二次型 g ηξ ),( 为负定的，那么 ),( 00 yxf 为极大值。 若二次型 g ηξ ),( 是不定的，同样易知 ),( 00 yxf 既不是极大值，也 不是极小值
综合以上讨论,结合代数学的知识,就得到 定理126.2设(xny3)为f的驻点,∫在(x,yn)附近具有二阶连 续偏导数。记 A=f (ro, yo), B=f(ro,yo), C=f(xo, yo) 开记 =AC-B B C 那么 (1)若H>0:A>0时f(xny)为极小值;A<0时f(x0,y)为极大 值: (2)若H<0:f(x0,y)不是极值。 (3)当H=0时,不难举例说明,∫(xy)可能是极值,也可能不 是极值
综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到 定理 12.6.2 设 ),( 00 yx 为 f 的驻点， f 在 ),( 00 yx 附近具有二阶连 续偏导数 。 记 ),(),,(),,( 00 00 00 = xx = xy = yy yxfCyxfByxfA ， 并记 2 BAC CB BA H −== ， 那么 （ 1 ） 若 H > 0： A > 0 时 ),( 00 yxf 为极小值； A < 0 时 ),( 00 yxf 为极大 值； （ 2 ） 若 H < 0： ),( 00 yxf 不是极值 。 （3） 当 H = 0时，不难举例说明， ),( 00 yxf 可能是极值， 也可能不 是极值
例12.6.1求函数f(x,y)=x(a-x-y)(a≠0)的极值。 解先找驻点,即解方程组 yla-x-y)-xy=0, af x(a-x-y 易解出驻点为()(9(0a)和/a) 再求二阶偏导数, af=-2y, axay 2x-2y X
例 12.6.1 求函数 = − − ayxaxyyxf ≠ )0()(),( 的极值。 解 先找驻点，即解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =−−−= ∂ ∂ =−−−= ∂ ∂ .0)( ,0)( xyyxax y f xyyxay x f 易解出驻点为 aa ),0(),0,(),0,0( 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 , 3 aa 。 再求二阶偏导数， x y f yxa yx f y x f ,2 ,22 2 2 2 2 2 2 −= ∂ ∂ −−= ∂∂ ∂ −= ∂ ∂