§3幂级数 n… n=0 这样的函数项级数称为幂级数幂级数的部分和函数Sn(x)是一个n-1 次多项式。 为了方便,我们通常取x=0,也就是讨论 a,"= an+ a x a... ".. 然后对所得的结果做一个平移x=t-x,就可以平行推广到x≠0的情 况
∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa = a0 + )(1 0 − xxa 2 2 0 −+ xxa )( +"+ n n xxa )( − 0 +" 这样的函数项级数称为幂级数。幂级数的部分和函数 Sn(x)是一个n −1 次多项式。 为了方便，我们通常取 0 x = 0, 也就是讨论 ∑ ∞ n=0 n n xa = a0 + 1 xa 2 2 + xa +"+ n n xa +"， 然后对所得的结果做一个平移 x = 0 − xt ，就可以平行推广到x0 ≠ 0的情 况。 §3 幂级数
幂级数的收敛半径 对于幂级数∑anx,首先有 lim巛a.x i《a 根据数项级数的 Cauchy判别法,当上面的极限值小于1时, ∑ax"绝对收敛;当上面的极限值大于1时,∑ax"发散。 令 A=lim v/la 定义 +O,当A=0 R 当A∈(0,+∞) A 0,当4 则我们有
幂级数的收敛半径 对于幂级数∑ ∞ n=0 n n xa ，首先有 n ∞→ lim n n n xa || = n ∞→ lim ⋅ n n a || ｜x｜， 根据数项级数的 Cauchy 判别法，当上面的极限值小于 1 时， ∑ ∞ n=0 n n xa 绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时，∑ ∞ n=0 n n xa 发散。 令 A = n ∞→ lim n n a || ， 定义 R = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +∞= +∞∈ ∞+ = , ),,0( ,0 ,0 , 1 , A A A A 当 当 当 则我们有
定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑ax”当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|x>R时发散 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断
定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数∑ ∞ n=0 n n xa 当 || < Rx （R > 0）时绝对收敛；当 || > Rx 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断
定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑ax”当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|xR时发散 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断 对于∑a(x-x),则有平行的结论:幂级数在以x为中心,以R 为半径的对称区间内绝对收敛,而在该区间外发散。在区间的端点x0 士R,幂级数的敛散性必须另行判断 数R称为幂级数的收敛半径。当R=+∞时,幂级数对一切x都是 绝对收敛的;当R=0时,幂级数仅当x=x0时收敛
对于∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa ，则有平行的结论：幂级数在以 0 x 为中心，以R 为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散。在区间的端点 0 x ±R，幂级数的敛散性必须另行判断。 数 R 称为幂级数的收敛半径。当R +∞= 时，幂级数对一切 x 都是 绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x = 0 x 时收敛。 定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数∑ ∞ n=0 n n xa 当 || < Rx （R > 0）时绝对收敛；当 || > Rx 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断
例10.3.1幂级数∑,∑,∑mx+1)的收敛半径都是 R=1。∑x的收敛域是-1,1∑x的收敛域是D2]:∑x+y 的收敛域是(-2,0)
例 10.3.1 幂级数∑ ∞ n=1 n n x ，∑ ∞ = − 1 2 )1( n n n x ，∑ ∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛半径都是 R = 1。∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)；∑∞ = − 1 2 )1( n n n x 的收敛域是[0,2]；∑∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛域是(-2,0)