第十一章 Euclid空间上的极限和连续 §1 Euclid空间上的基本定理 到目前为止,我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实 生活中,除了非常简单的情况之外,可以仅用一个自变量和一个因变 量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究 质点运动这么一个相对较为容易的问题,也需要用到确定空间位置的 三个坐标变量x、y、z和一个时间变量t以及多个函数值(如位置、 速度、加速度、动量等),更不用说在各种不同的学科研究中会遇到 更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系,反映到 数学上就是多元函数(或多元函数组,即向量值函数)
到目前为止, 我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实 生活中，除了非常简单的情况之外，可以仅用一个自变量和一个因变 量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究 质点运动这么一个相对较为容易的问题，也需要用到确定空间位置的 三个坐标变量 x、y、z 和一个时间变量 t 以及多个函数值（如位置、 速度、加速度、动量等），更不用说在各种不同的学科研究中会遇到 更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系，反映到 数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。 第十一章 Euclid空间上的极限和连续 §1 Euclid空间上的基本定理
Euclid空间中的距离与极限 先回忆一下一元函数的极限定义 imf(x)=A台VE>0,彐δ>0,Vx(0<x-x0k):|f(x)-AkE x→x0 从上述定义可知在自变量的变化过程中,只要x与x充分接近(x ≠x0),函数值f(x)就可以与A任意接近。而这个“接近”,不管是用 符号“0<x-x<d”和“(x)-Akg”表示,还是用语言“在x的δ去 心邻域O(xn,8){x}中”和“落在点A的ε邻域中”表示,实质上都是 用绝对值,即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维 空间以后,必须将“距离”的概念推广至高维空间,定义出类似于“绝 对值”那样的度量概念,然后才能在此基础上去相应地定义极限,进 而构筑整个多元分析理论
Euclid 空间中的距离与极限 先回忆一下一元函数的极限定义： lim x x → 0 f x( ) = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 0| | <− < x x δ )：| () | fx A − < ε 。 从上述定义可知在自变量的变化过程中，只要 x 与 x0充分接近（x ≠x0 ），函数值 f (x)就可以与 A 任意接近。而这个“接近”，不管是用 符号“ xx 0 ||0 <−< δ ”和“| () | fx A − < ε ”表示，还是用语言“在 x0的δ 去 心邻域 0 0 Ox x ( , )\{ } δ 中”和“落在点 A 的ε 邻域中”表示，实质上都是 用绝对值，即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维 空间以后，必须将“距离”的概念推广至高维空间，定义出类似于“绝 对值”那样的度量概念，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进 而构筑整个多元分析理论
记R为实数全体,定义n个R的 Descartes乘积集为 R"=RxRx…×R={(x1,x2…xn)|x1∈R,i=1,2 R"中的元素x=(x1,x2…xn)称为向量或点,x,称为x的第个坐标。特 别地,R"中的零元素记为0=(00,…,0)。 设x xn),y=(V,y2…,yn)为R"中任意两个向量,为 任意实数,定义R"中的加法和数乘运算 x+y=(,+yi,x2+y2, ,xn+yn) λx=(x1,x2,…,λxn), R"就成为向量空间
记 R 为实数全体，定义 n 个 R 的 Descartes 乘积集为 n R R R ××= L× R = { |),,,( 21 n L xxx xi ∈ R， = L,,2,1 ni }。 n R 中的元素 x ),,,( 21 n = L xxx 称为向量或点， i x 称为 x 的第i个坐标。特 别地， n R 中的零元素记为0 = L )0,,0,0( 。 设 x = ),,,( 21 n L xxx ，y = ),,,( 21 n L yyy 为 n R 中任意两个向量，λ 为 任意实数，定义 n R 中的加法和数乘运算： x + y = ),,,,( 2211 nn + + L + yxyxyx λ x = ),,,( 21 n λ λ L λ xxx , n R 就成为向量空间
如果在R"上引入內积运算 y>=x+x2+…+x=∑xy k=1 那么R"就被称为 Euclid空间。 容易验证内积满足以下性质:设x,y,z∈R",,H∈R,则 (1)(正定性)<x,x>≥0,而<x,x>=0当且仅当x=0; 2)(对称性)<x,y>=<y,x>; (3)(线性性)<Ax+四y,z>=1<x,>+<y,z> (4)( Schwarz不等式)<x,y>2≤<x,x><y,y>
如果在 n R 上引入内积运算 ＜x , y＞ nn = + +L+ yxyxyx 2211 =∑ = n k kk yx 1 ， 那么 n R 就被称为 Euclid 空间。 容易验证内积满足以下性质：设 x，y，z∈ n R ，λ , μ ∈R, 则 (1) （正定性）＜x , x＞≥ 0 , 而＜x , x＞= 0 当且仅当 x= 0； (2) （对称性）＜x , y＞ = ＜y , x＞； (3) （线性性）＜λ x + μ y , z＞ = λ ＜x , z＞ + μ ＜y , z＞； (4) （Schwarz 不等式）＜x , y＞2 ≤ ＜x , x＞＜y , y＞
如果在R"上引入內积运算 ,y>=xy+x2y2+…+x,yn=∑xy k=1 那么R"就被称为 Euclid空间。 容易验证内积满足以下性质:设x,y,z∈R",,H∈R,则 (1)(正定性)<x,x>≥0,而<x,x>=0当且仅当x=0; 2)(对称性)<x,y y,>; (3)(线性性)<Ax+y,z>=1<x,z>+<y,乙> (4)( Schwarz不等式)<x,y>2≤<x,x><y,y>。 我们仅证明(4)。由(1)-(3)可以得到 nx ty, ar ty 2<x,x>+2<x ≥0 对任意∈R都成立,所以其判别式不大于零,即 4<x,p2-4<x,x><y,y>≤0。 这就得到了 Schwarz不等式
我们仅证明(4)。由(1) — (3)可以得到 ＜λ x +y , λ x +y＞ = λ2 ＜x , x＞ + 2λ ＜x , y＞ + ＜y , y＞ ≥ 0 对任意λ∈ R都成立，所以其判别式不大于零，即 4＜x , y＞2 - 4＜x , x＞＜y , y＞≤0。 这就得到了 Schwarz 不等式。 如果在 n R 上引入内积运算 ＜x , y＞ nn = + +L+ yxyxyx 2211 =∑ = n k kk yx 1 ， 那么 n R 就被称为 Euclid 空间。 容易验证内积满足以下性质：设 x，y，z∈ n R ，λ , μ ∈R, 则 (1) （正定性）＜x , x＞≥ 0 , 而＜x , x＞= 0 当且仅当 x= 0； (2) （对称性）＜x , y＞ = ＜y , x＞； (3) （线性性）＜λ x + μ y , z＞ = λ ＜x , z＞ + μ ＜y , z＞； (4) （Schwarz 不等式）＜x , y＞2 ≤ ＜x , x＞＜y , y＞