§2一致收敛级数的判别与性质 一致收敛的判别 定理10.2.1(函数项级数一致收敛的 Cauchy收敛原理)函数 项级数∑un(x)在D上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的 >0,存在正整数N=N(),使 un(x)+un2(x)++um(x)|<8 对一切正整数m>n>N与一切x∈D成立
一致收敛的判别 定理 10.2.1（函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理） 函数 项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│< ε 对一切正整数 m >n >N 与一切 x∈D 成立。 §2 一致收敛级数的判别与性质
证必要性。设∑un(x)在D上一致收敛,记和函数为S(x),则 对任意给定的E>0,存在正整数N=N(E),使得对一切n>N与一切 x∈D,成立 ∑n(x)-S(x)< 于是对一切m>n>N与一切x∈D,成立 1an1(x)+n2(x)+…+m()|=∑n()-∑a k=1 k=1 ∑1(x)-S(x)+>n(x)-S(x)< k=1
证 必要性。设 ∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则 对任意给定的ε > 0，存在正整数 N = N( ) ε ， 使得对一切 n >N 与一切 x∈D，成立 )()( 1 xSxu n k ∑ k − = < 2 ε 。 于是对一切 m >n >N 与一切 x∈D，成立 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│= ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( ≤ ∑ +− = )()( 1 xSxu m k k )()( 1 xSxu n k ∑ k − = < ε
充分性。设任意给定的E>0,存在正整数N=M(E),使得对一切 m>n>N与一切x∈D,成立 n(x)+an2(x)+…+mx)l=∑a(x)-∑(x)< 固定x∈D,则数项级数∑un(x)满足 Cauchy收敛原理,因而收敛。设 n=1 x)=∑un(x),xED =1 在∑n()-∑(x)<中固定n,令m→,则得到 k=1 k=1 ∑u(x)-S(x) <f 2 对一切xD成立,因而∑u(x)在D上一致收敛于Sx)
充分性。设任意给定的ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使得对一切 m>n >N 与一切 x∈D，成立 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│= ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( < 2ε 固定 x∈D，则数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D， 在 ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( < 2ε 中固定 n， 令m ∞→ ，则得到 )()( 1 xSxu n k ∑ k − = ≤ 2 ε < ε 对一切 x∈D 成立，因而∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛于 S(x)
函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理: 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是: V>0,彐N,m>n>N,x∈D Sm(x)-S(x)|<E
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn(x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是： ∀ε >0，∃ N，∀m >n >N，∀x∈D ： │Sm(x) - Sn(x)│< ε
函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理: 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是: V>0,彐N,m>n>N,x∈D Sm(x)-S(x)|<E。 定理1022 Weierstrass判别法)设函数项级数∑un(x)(x∈D) 的每一项l1(x)满足 (x)|≤an,x∈D 并且数项级数∑an收敛,则∑un(x)在D上一致收敛。 n=1
定理 10.2.2 (Weierstrass 判别法) 设函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu （x∈D） 的每一项 un (x)满足 │un (x)│≤ an， x∈D ， 并且数项级数∑ ∞ n=1 an 收敛，则∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛。 函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn(x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是： ∀ε >0，∃ N，∀m >n >N，∀x∈D ： │Sm(x) - Sn(x)│< ε